Äquivalenzklasse

Ist X eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf X dann heißt für ein Element a aus X die Menge

<math>\{ x \in X \ |\ \sim a \}</math>

Äquivalenzklasse von a . Sie wird üblicherweise mit [ a ] bezeichnet und besteht aus genau den von X die äquivalent zu a sind.

Äquivalenzklassen sind nützlich um neue Mengen vorhandenen zu konstruieren . Die Menge aller Äquivalenzklassen in X bezüglich der Relation ~ wird üblicherweise X /~ bezeichnet und " Faktormenge von X modulo ~" genannt.

Beispiele und Eigenschaften

Es gilt a ~ b genau dann wenn [ a ] = [ b ].

Auf der Menge Z der ganzen Zahlen ist die "Kongruenz modulo 2" eine definiert durch x ~ y genau dann wenn x - y gerade ist. Diese Relation liefert zwei [0] besteht aus allen geraden Zahlen und besteht aus allen ungeraden Zahlen.

Hat X eine Struktur die von der Relation erhalten wird dann ist die Faktorstruktur X /~ vom gleichen Typ und die Abbildung a -> [ a ] ist ein Homomorphismus .

Ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe dann können wir die beiden Äquivalenzrelationen definieren:

• x ~ _R y genau dann wenn xy ^-1 in H . Die Äquivalenzklassen sind von der Form Hx und heißen rechte Nebenklassen von H in G . Die Menge aller Nebenklassen schreibt man G / H .
• x ~ _L y genau dann wenn x ^-1 y in H . Dann sind die Äquivalenzklassen von der xH und heißen linke Nebenklassen von H in G . Die Menge aller Nebenklassen schreibt man G \ H .
• Ist H ein Normalteiler dann stimmt Hx mit xH überein und die Menge G / H der Nebenklassen ist in natürlicher Weise Gruppe die Faktorgruppe genannt wird.

Aus den Eigenschaften einer Äquivalenzrelation folgt Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sind. Daraus folgt dass die Menge Äquivalenzklassen von X eine Zerlegung von X bildet: Jedes Element von X gehört zu genau einer Äquivalenzklasse. Umgekehrt jede Zerlegung von X eine Äquivalenzrelation deren Äquivalenzklassen gerade die Zerlegung bilden.

Jede Gruppe kann zerlegt werden in die Äquivalenzklassen zueinander konjugierter Elemente in dieser Gruppe sind.

Die ganzen Zahlen können aus den natürlichen Zahlen konstruiert als Äquivalenzklassen von Paaren ( a b ) natürlicher Zahlen bezüglich folgender Äquivalenzrelation:

( a b ) ~ ( c d ) genau dann wenn a + d = b + c

Die Äquivalenzklasse [( a b )] ist dann die ganze Zahl a - b .

Die rationalen Zahlen können aus den ganzen Zahlen konstruiert als Äquivalenzklassen von Paaren ( a b ) ganzer Zahlen (dabei ist b ungleich 0) bezüglich folgender Äquivalenzrelation:

( a b ) ~ ( c d ) genau dann wenn ad = bc

Die Äquivalenzklasse [( a b )] ist dann der Bruch a / b .

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen (siehe auch vollständiger Raum ).

Der Restklassenring Z /n Z besteht aus den Äquivalenzklassen der Kongruenz n auf Z d.h. aus den Mengen

[ a ] = { a + n m | m aus Z } =: a +n Z für a = 0 ... n-1.

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