Äquivalenzrelation

In der Mathematik ist eine Äquivalenzrelation eine Beziehung ( Relation ) zwischen Elementen einer Menge die bestimmte der "Gleichheit" verallgemeinert. Das bekannteste Beispiel bilden rationalen Zahlen : Zwei Brüche a / b und c / d sind äquivalent (repräsentieren dieselbe rationale Zahl) die Gleichung ad = bc gilt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Eigenschaften 2.1 Erläuterung 3 Beispiele

Definition

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation <math> R \sub \ M \times auf einer nichtleeren Menge M welche folgende Bedingungen erfüllt:

• Reflexivität: <math>\forall a \in M: (a \ \in R</math>
• Symmetrie: <math>\forall a b \in M: b) \in R \ \Rightarrow \ (b \in R</math>
• Transitivität: <math>\forall a b c \in \ (a b) \in R \ \wedge (b c) \in R \ \Rightarrow (a \in R</math>

(Es gilt dann <math>R \ne \empty</math>.)

Für ein Äquivalenzrelation schreibt man üblicherweise \sim b</math> statt <math>a \ R \ b</math> oder <math>(a b) \in R</math>. Die Eigenschaften lassen sich dann so aufschreiben:

<math>\forall a b c \in M: a\sim (a\sim b \Rightarrow b\sim a) (a\sim b b\sim c \Rightarrow a\sim c)</math>

Ferner definiert man für eine Äquivalenzrelation \ \sub M \times M</math> für jedes a von M die so genannten Äquivalenzklasse von a in M :

<math>[a]:= \{b \in M \ | \ \sim b\} \ \ \forall a \in

a ist der Repräsentant der Äquivalenzklasse [a] . Die Menge der Äquivalenzklassen ist

<math>M/\!\sim\ := [M]:= \{[a] \ | \ \in M\} \ \ \forall a \in

Eigenschaften

• <math> \forall {a} \in M: \ \in [a]</math>
• <math> \forall {a b} \in M: a \in [b] \ \Rightarrow \ [a] [b]</math>
• <math> \forall {a b} \in M: ( [a]=[b] ) \or ( [a] \cap = \empty )</math>

Erläuterung

Durch eine Äquivalenzrelation <math> \sim </math> eine Menge in Äquivalenzklassen zerlegt.

Siehe auch Äquivalenz und Partition .

(bitte erweitern)

Beispiele

1. Gleichheit auf beliebiger Menge S
2. Menge Z der ganzen Zahlen mit a ~ b genau dann a und b denselben Rest bei Division durch 5 haben
3. Menge M der Schüler auf einer Schule mit a ~ b genau dann die Schüler a und b in dieselbe Klasse gehen

Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind:

1. die Menge aller einelementigen Teilmengen von S ; sie lässt sich umkehrbar eindeutig ( bijektiv ) auf die Menge S selbst abbilden
2. die Menge {5 Z 5 Z +1 ... 5 Z +4} geschrieben als Z /5 Z ein Restklassenring
3. die Menge deren Elemente jeweils alle einer Klasse sind; sie lässt sich eineindeutig die Menge aller Klassen der Schule abbilden

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