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Wieferich-Primzahl


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Eine Wieferich-Primzahl ist eine spezielle Primzahl p mit der Eigenschaft 2 p-1 - 1 ist teilbar durch p 2 .

Alternativ kann man dies auch mit modulo -Funktion schreiben als 2 p-1 = 1 (mod p 2 ).

Inhaltsverzeichnis

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur 2 Wieferich-Primzahlen 1093 (gefunden im Jahr 1913 von W.Meissner) und 3511 (gefunden im Jahr 1922 von N.G.W.H.Beeger). Weitere Wieferich-Primzahlen sind nicht Mit Computerhilfe hat man bis Juni 2003 Zahlen bis 1.25 · 10 15 untersucht ( http://www.cs.dal.ca/~knauer/wieferich/ ).

Namensgebung

Benannt sind diese Primzahlen nach dem Mathematiker Arthur Wieferich .

Verwandtschaft mit Fermats letztem Theorem

Wieferich beschäftigte sich mit Fermats letztem Theorem . 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den folgenden Satz :

Voraussetzung:
Sei x p + y p + z p = 0 wobei x y z Zahlen sind und p eine Primzahl ist. sei das Produkt x·y·z nicht teilbar durch
Behauptung:
p ist eine Wieferich-Primzahl d.h. a p-1 - 1 ist teilbar durch p 2 mit a = 2.

1910 zeigte der Mathematiker Mirimanoff dass dieser auch für a = 3 gilt.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

  • Es ist nicht bekannt ob es viele Wieferich-Primzahlen gibt. Man vermutet dass dies der Fall ist.

  • Ein Primfaktor p der Mersenne-Zahl M q = 2 q - 1 ist eine Wieferich-Primzahl genau wenn p 2 teilbar ist durch 2 q - 1. Daraus folgt sofort dass Mersenne-Primzahl niemals eine Wieferich-Primzahl sein kann.

  • Für eine Wieferich-Primzahl p gilt: 2 p 2 = 2 (mod p 2 ).

  • Aus 2 n = 1 (mod p) folgt 2 n = 1 (mod p 2 )

Literatur

  • A. Wieferich "Zum letzten Fermat'schen Theorem Journal für Reine Angewandte Math. 136 (1909)

  • J. H. Silverman "Wieferich's criterion and abc-conjecture " Journal Number Theory 30:2 (1988)



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