ARMA-Modelle

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Definition eines ARMA-Prozesses 1.1 MA-Modell 1.2 AR-Modell 1.3 ARMA-Modell 2 ARMA-Modelle in der Statistik 2.1 ARMAX und ARIMA 2.2 Interpretation des Moving Average-Teils

Mathematische Definition eines ARMA-Prozesses

In das Modell fließen Rauschterme und gewichtete frühere Werte der Zeitreihe linear ein. ARMA-Modelle sind eines der zur Vorhersage von beobachteten stochastischen Signalen . Sind die zu modellierenden Signale nicht dann muss man sie gegebenenfalls vor der differenzieren um den Trend zu beseitigen.

MA-Modell

<math>y_t=\sum_{j=0}^m b_i \epsilon_{t-j}</math> Das Signal setzt aus einem durch gleitendes Mittel (= moving average ) der Länge m geglätteten Signal einer (nicht direkt messbaren) Zeitreihe und einem Rauschterm (j=0) zusammen.

AR-Modell

 <math>y_t=\epsilon_t + \sum_{i=1}^n a_i y_{t-i}</math>  

ARMA-Modell

 <math>y_t=\epsilon_t + \sum_{i=1}^n a_i y_{t-i} + b_i \epsilon_{t-j}</math>  

<math>L^d x_t = x_{t-d}</math>

<math> (1+\phi(L))y_t = (1+\theta(L)) \epsilon_t</math>

<math>\phi(x) = \phi_1 x+ \cdots + \phi_n

ARMA-Modelle in der Statistik

Regressionsmodelle spielen in der Statistik eine große In der Ökonometrie müssen oft mehrere Zeitreihen der Form <math>x_1(t) x_2(t)...x_n(t)</math> miteinander in gebracht werden die s.g. Wirtschaftsindikatoren also z.B. Arbeitslosigkeit Investitionen usw. Man unterscheidet zwischen endogenen zeitabhängigen Variablen Y(t) (die also vom erklärt werden) und exogenen Variablen X(t) die außen definiert werden. Mit ihnen kann man allgemeine lineare Gleichungssystem ( LGS )

<math>BY=AX+\epsilon</math>

formulieren. B Y A und X Matrizen mit sovielen Zeilen wie Beobachtungen und Spalten wie Variablen des jeweiligen Typs. Jeder zählt als Beobachtung. Geht einunddieselbe Variable zu Zeitpunkten (also als Y(t) Y(t-1) usw.) in LGS sein so zählt dies als mehrere Variablen. Die Gleichung <math>Y(t)=\beta_1 Y(t-1)+\beta_2 Y(t-2)+\epsilon</math> also drei Variablen. Das ist entscheidend für ARMA-Modelle. <math>epislon</math> ist ein Vektor mit sovielen wie Beobachtungen.

ARMAX und ARIMA

Ist der Regressor X dabei spricht von ARMAX -Modellen. Gehen nur die (diskreten) Ableitungen von Y in das Modell ein dass hinterher die Modellprognosen wieder integriert (siehe Integration ) werden müssen so spricht man von ARIMA -Modellen das I steht für "Integrated".

Alle Modelle der ARMA-Familie haben dieses zur Grundlage. Viele LGS können mit einer linearen Regression (LR) geschätzt werden. Voraussetzung dass Schätzer unverzerrt sind ist dass die Störterme von Y nicht autokorrelieren da Korrelation der untereinander einen LR-Schätzer immer verzerrt. Wenn Autoregressionsterme Form

 <math>y_t=\epsilon_t + \sum_{i=1}^n a_i y_{t-i}</math>  

vorliegen liegt in der Regel eine Autokorrelation der Störterme vor.

Interpretation des Moving Average-Teils

Man sollte das LGS daher um Term der Form

<math>\epsilon=\sum_{j=0}^m \gamma_j \epsilon_{t-j}+\epsilon'</math>

<math>\epsilon=\gamma_1 \epsilon_{t-1}+\epsilon'</math>

Der Begriff "MA" für solche rein Prozesse ist eher irreführend. ARMA-Modelle sind also für deterministische Zusammenhangsmodelle (AR-Anteil entspricht Regressionsmodell) und Prozessen (MA-Anteil).

ARMA-Modelle (auch ARMAX ARIMA) werden durch nichtlineare Regressionsverfahren geschätzt.

Siehe auch: Yule-Walker-Gleichungen Autokorrelation

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