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Abelsche Gruppe



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Abelsche Gruppe ( Axiome EANIK)
berührt die Spezialgebiete
Mathematik
Abstrakte Algebra
Gruppentheorie
ist Spezialfall von
Gruppoid (Axiom E)
Halbgruppe (EA)
Monoid (EAN)
Gruppe (EANI)
umfasst als Spezialfälle
endliche Abelsche Gruppen
zyklische Gruppen
Ring
Körper
Vektorraum

In der abstrakten Algebra ist eine abelsche Gruppe eine Gruppe ( G *) für die das Kommutativgesetz

a * b = b * a für alle a b in G
gilt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Niels Henrik Abel .

Ist eine Gruppe abelsch dann schreibt ihre Verknüpfung meist als Addition + das neutrale Element als 0 (das wird dann auch Nullelement genannt) und das inverse von a als - a (das Negative von a ).

Beispiele

Jede zyklische Gruppe ist abelsch wie z.B. die additive ( Z +) der ganzen Zahlen oder die Addition im Restklassenring Z /n Z .

Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe mit der ohne die Null bilden sie eine abelsche mit der Multiplikation.

Allgemeiner liefert jeder Körper ( K + *) zwei abelsche Gruppen in Weise: ( K +) und ( K \{0} *).

Ein weiteres Beispiel ist die Faktorgruppe Q / Z die isomorph zur (multiplikativen) Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist. Die Faktorgruppe R / Z ist isomorph zur Gruppe aller komplexen mit Betrag 1.

Eigenschaften

Für eine (kleine) endliche Gruppe erkennt leicht ob sie abelsch ist:

Die Gruppentafel einer endlichen Gruppe ist genau symmetrisch zur Hauptdiagonalen die von links oben nach rechts führt wenn sie abelsch ist.

Ist n eine natürliche Zahl und x ein Element der abelschen Gruppe G dann kann man nx definieren als die Summe x + x +...+ x mit genau n Summanden 0 x als 0 (das neutrale Element der und (- n ) x als -( nx ). Auf diese Weise wird G zu einem Modul über dem Ring Z . Da jeder Z -Modul eine abelsche Gruppe ist kann man die Z -Moduln mit den abelschen Gruppen identifizieren. Theoreme abelsche Gruppen können so oft verallgemeinert werden Sätzen für Moduln über Hauptidealringen . Ein Beispiel ist die Klassifikation der erzeugten abelschen Gruppen.

Eine Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen der Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen :

Jede endliche abelsche Gruppe lässt sich zerlegen eine direkte Summe zylischer Untergruppen von Primpotenz-Ordnung. Dabei sind die Ordnungen Untergruppen bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler also kann man zu jeder Untergruppe Faktorgruppe erzeugen. Untergruppen Faktorgruppen Produkte und direkte Summen abelscher Gruppen sind abelsch.

Sind f g : G -> H zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen dann ist ihre f + g definiert durch

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
ebenfalls ein Homomorphismus. (Das gälte nicht H nicht abelsch wäre.) Die Menge Hom( G H ) aller Gruppenhomomorphismen wird mit dieser Addition zu einer abelschen Gruppe.

Die abelschen Gruppen mit ihren Homomorphismen eine Kategorie . Diese ist der Prototyp einer abelschen

Ähnlich wie ein Vektorraum eine Dimension hat hat jede abelsche Gruppe einen Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer Z -linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die Zahlen Q haben Rang 1 so wie jede von Q . Die abelschen Gruppen vom Rang 1 gut verstanden dagegen sind für höhere Ränge viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem können extrem komplex sein und ihre offenen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre .

Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche Topologie durch die sie zu topologischen Gruppen werden.


siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen



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