Algebraische Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden geometrische als Menge von Nullstellen einer Menge von Polynomen definiert. Zum Beispiel lässt sich die Kugel im drei-dimensionalen Euklidischen Raum R ³ als die Menge aller Punkte ( x y z ) definieren für die gilt:

x ² + y ² + z ² -1 = 0.

x ² + y ² + z ² -1 = 0

x + y + z = 0.

Ist allgemein K ein Körper und S eine Menge von Polynomen in n Variablen mit Koeffizienten in K dann ist V( S ) definiert als diejenige Teilmenge von K ⁿ die aus den gemeinsamen Nullstellen der in S besteht. Eine Menge dieser Form heißt affine Varietät . Die affinen Varietäten definieren eine Topologie auf K ⁿ die so genannte Zariski Topologie. Als Konsequenz des Hilbertschen Basissatzes kann jede Varietät nur endlich viele Polynomgleichungen definiert werden. Eine heißt irreduzibel wenn sie nicht die Vereinigung zweier Varietäten ist. Es stellt sich heraus dass Varietät genau dann irreduzibel ist wenn die die sie definieren ein Primideal des Polynomrings erzeugen. Die Korrespondenz zwischen und Idealen ist ein zentrales Thema der Geometrie. Man kann geradezu ein Wörterbuch zwischen Begriffen wie Varietät irreduzibel usw. und algebraischen wie Ideal Primideal usw. angeben.

Zu jeder Varietät V kann man eine kommutativen Ring assoziieren so genannten Koordinatenring . Er besteht aus allen Polynomfunktionen die der Varietät definiert sind. Die Primideale dieses stehen in Korrespondenz zu den irreduziblen Untervarietäten V ; wenn K algebraisch abgeschlossen ist was üblicherweise angenommen wird dann die Punkte von V den maximalen Idealen des Koordinatenrings ( Hilberts Nullstellensatz ).

Statt in dem affinen Raum K ⁿ zu arbeiten geht man typischerweise zum projektiven Raum über. Der Hauptvorteil besteht dabei darin sich die Anzahl der Schnittpunkte zweier Varietäten leicht mit Hilfe des Satzes von Bezout lässt.

In der modernen Sicht wird die zwischen Varietäten und ihren Koordinatenringen umgekehrt: Man von einem beliebigen kommutativen Ring aus und eine dazugehörende Varietät mithilfe seiner Primideale. Aus Primidealen wird zunächst ein topologischer Raum konstruiert das Spektrum des Rings. In allgemeinsten Formulierung führt dies zu Alexander Grothendiecks Schemata .

Eine wichtige Klasse von Varietäten sind abelschen Varietäten. Dies sind Varietäten deren Punkte abelsche Gruppe bilden. Die typischen Beispiele hierfür sind elliptische Kurven die eine wichtige Rolle im Beweis Fermats letztem Satz spielen. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet ist Kryptographie mit elliptischen Kurven.

Während in der algebraischen Geometrie lange vor allem abstrakte Aussagen über die Struktur Varietäten getroffen worden sind wurden jüngst algorithmische entwickelt die das effiziente Rechnen mit Polynomidealen Das wichtigste Hilfsmittel sind die Gröbnerbasen die den meisten heutigen Computer Algebra Systemen implementiert

Die algebraische Geometrie wurde in weiten von den italienischen Geometern des frühen zwanzigsten entwickelt. Ihre Arbeit war tiefgreifend stand aber auf einer ausreichend strengen Basis. Die kommutative Algebra (als das Studium kommutativer Ringe und Ideale) wurde von David Hilbert Emmy Noether und anderen ebenfalls zu Beginn des Jahrhunderts entwickelt. Dabei hatten sie bereits die Anwendungen im Hinterkopf. In den 1930ern und stellte André Weil fest dass die algebraische Geometrie auf strenge Basis gestellt werden musste und entwickelte entsprechende Theorie. In den 1950ern und 1960ern Jean-Pierre Serre und speziell Alexander Grothendieck diese unter der Verwendung von Garben und später unter der Verwendung der

Mathematical Subject Classification: 14-XX

Weblinks

• PlanetMath Übersichtsartikel
• Mathematical Atlas

Bücher zum Thema Algebraische Geometrie

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