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Absoluter Betrag


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Der absolute Betrag Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag einer Zahl ist immer eine positive Zahl oder Null . Man schreibt den Betrag einer Zahl x als | x | oder als abs( x ).

Inhaltsverzeichnis

Konkrete Beispiele

Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die selbst wenn sie positiv oder Null ist:

<math> |x| = x </math>. (Beispiel: |3| = 3 </math>)
Wenn die Zahl negativ ist gilt:
<math> |x| = -x </math>. (Beispiel: |-4| = -(-4) = 4 </math>)

Man kann den Betrag auch als der Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengerade

Bei komplexen Zahlen

Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung Gaußschen Zahlenebene . Für die komplexe Zahl z ist

<math> |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Betrag und Metrik


Über den Betrag kann man eine ( Metrik ) definieren: Der Abstand d ( x y ) zweier Zahlen x y ist der Betrag ihrer Differenz | x - y |.

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten) ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik .

Beispiele

|x+3| = 5 Gesucht ist x

1. x + 3 = 5

  • daraus folgt x = 2

2. -(x + 3) = 5

  • daraus folgt - x - 3 =
  • daraus folgt - x = 8
  • daraus folgt x = - 8

Verallgemeinerung: Norm

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm ; den Begriff Norm kann man als Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften

1. | x | ≥ 0 für alle x und | x | = 0 genau dann wenn x = 0.
2. | x |·| y | = | x · y | für alle x y
3. | x + y | ≤ | x | + | y | (die Dreiecksungleichung )

Gilt zudem

4. | x + y | ≤ max{| x | | y |}

so spricht von einem nichtarchimedischen andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da aus 4. folgt nennt man 4. auch verschärfte Dreiecksungleichung . Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle der Theorie der p-adischen Zahlen .

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·| wählt eine positive reelle Zahl b dann hat die Funktion v : K R ∪ {∞} mit <math>v(x) = -\log_b(|x|)</math> x ≠0 und v (0)=-∞ folgende Eigenschaften:

1. v ( x ) = -∞ genau dann wenn x = 0.
2. v ( x · y ) = v ( x ) + v ( y ) für alle x y
3. v ( x + y ) ≤ max{ v ( x ) v ( y )}

Eine Funktion v : K R ∪ {∞} mit diesen drei Eigenschaften man eine Bewertung auf K .

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen indem man eine positive reelle Zahl b setzt: | x | = b - v ( x ) .

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