Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine verstanden die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Attribut hat oft die Form eines Adjektivs endlich offen surjektiv ) kann aber auch ein Substantiv involvieren vom Grad 3 ). Dieses Glossar soll nicht alle mathematischen erklären sondern nur Attribute.
Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs angewandt wird zur schnellen Orientierung dienen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren. Es Wikipädie-Artikel erschließen die anders oft nur über mehrstufige Suche zugänglich sind da viele mathematische in der Umgangssprache ganz andere Bedeutungen haben hier nicht interessieren.
In der abstrakten Algebra heißt eine Menge abgeschlossen bezüglich einer auf ihren Elementen definierten (z.B. einer zweistelligen Verknüpfung ) wenn das Ergebnis der Operation angewandt beliebige Elemente der Menge wieder ein Element Menge ist.
Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich ) wenn sie mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Je nach Definition können auch Mengen abzählbar heißen. Mächtigere Mengen heißen überabzählbar.
Zwei Matrizen A B heißen adjungiert oder Hermitesch adjungiert zueinander wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen wenn also <math>B={\overline{A}}^{T}=:A^{\dagger}=\mathrm{adj}(A)</math>. Von ebenfalls verbreiteten Notation <math>A^{*}</math> statt <math>A^{\dagger}</math> ist weil <math>A^{*}</math> verschiedentlich statt <math>{\overline{A}}</math> zur Bezeichnung komplexen Konjugation verwandt wird. Selbstadjungierte Matrizen heißen auch Hermitesch oder unitär .
In der Geometrie sind zwei Figuren ähnlich wenn sie durch Verschiebung Drehung Spiegelung isotrope Streckung ineinander übergeführt werden können. Ähnlichkeit also Kongruenz (Geometrie) um die Möglichkeit der Streckung.
In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B ähnlich wenn sie durch eine invertierbare Matrix S ineinander überführt werden können A = S B S -1 . Ähnlichkeit ist hier ein Spezialfall von Äquivalenz .
Eine Funktion heißt algebraisch wenn sie durch eine endliche Anzahl Rechenoperationen (die Verknüpfungen der zugrunde liegenden Zahlenmenge sind meist die Grundrechenarten einschließlich Berechnung von Inversen) dargestellt werden Andernfalls heißt die Funktion transzendent .
Analog dazu heißt eine Gleichung algebraisch wenn sie durch eine endliche Anzahl Rechenoperationen formuliert werden kann.
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten ist. Die Menge der algebraischen Zahlen einen algebraischen Abschluss der Menge Q .
Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen wenn jedes Polynom vom Grad >= mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen der der reellen Zahlen nicht. auch algebraischer Abschluss .
In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Veränderlichen analytisch wenn sie lokal durch eine konvergente gegeben ist. Das ist äquivalent damit dass Funktion unendlich oft differenzierbar ist und das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent dass die Funktion stetig und differenzierbar also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden die Begriffe analytisch holomorph und regulär äquivalent gebraucht.
Eine unendlich oft differenzierbare Mannigfaltigkeit wird zuweilen analytisch genannt auch wenn dabei nur reelle involviert sind.
Eine Relation R heißt antisymmetrisch wenn aus xRy und yRx folgt x und y gleich sind. Dies ist der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung .
Zwei Aussagen heißen äquivalent wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer mehreren Unbekannten äquivalent wenn sie dieselbe Lösungsmenge
In der linearen Algebra heißen zwei m × n Matrizen A und B äquivalent wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt so dass A = S · B · T . Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind ( m = n ) und T = S -1 >gewählt werden kann sind A und B sogar ähnlich .
Zwei Darstellungen heißen äquivalent wenn sie bis auf Basenwechsel aus gleichen linearen Abbildungen bestehen.
Eine zweistellige Verknüpfung "*" heißt assoziativ wenn für alle Elemente a b und c der Grundmenge stets die Gleichung a *( b * c ) = ( a * b )* c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt bestimmte Klammern wegzulassen und einfach a * b * c zu schreiben. Eine Menge mit einer Verknüpfung ist eine Halbgruppe .
Eine Teilmenge U eines metrischen Raums ( X d ) heißt beschränkt wenn es eine reelle Zahl c gibt so dass der Abstand zweier von U stets kleinergleich c ist wenn also die Abstände in U beschränkt sind.
Als Spezialfall davon heißt eine Menge U reeller Zahlen beschränkt wenn es zwei Zahlen a und b gibt so dass U eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls [ a b ] ist.
Eine Funktion heißt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto ) wenn sie injektiv und surjektiv ist also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge Elemente der Wertemenge zuordnet wobei jedes Element Wertemenge erreicht wird. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus .
Eine Funktion f : V × V → W die zwei Elemente eines Vektorraums V auf ein Element eines Vektorraums W abbildet heißt bilinear wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem linear im ersten Argument ist. Siehe auch Skalarprodukt und das Stichwort sesquilinear .
Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators siehe Eigenvektor .
In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch wenn für jeden Automorphismus Gruppenhomomorphismus von G nach G ) f gilt dass f ( H ) Teilmenge von H ist.
Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R wenn es keine Teilmenge von R außer R selbst gibt die M enthält. Mit anderen Worten M ist dicht (in R ) wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Q liegt dicht in der Menge der Zahlen R (und macht diese dadurch separabel ).
Die Teilordnung einer Menge S heißt dicht wenn es zu jedem x und y aus S mit x < y ein z aus S gibt so dass x < z < y . Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen der reellen Zahlen ist dicht.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat ist gesichert wenn zusammenhängt .
Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird Beschreibung von Fraktalen verwandt.
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K . Dann heißt der Vektorraum V * :=Hom K ( V K ) der die linearen Abbildungen von V nach K enthält dual zu V ( Dualraum ).
In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage wenn man alle Elementaraussagen negiert 0 1 und ∧ mit ∨ vertauscht und gesamte Aussage negiert.
Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z.B. eine Mengenalgebra ) in sein duales Gegenstück über wenn man die beiden Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch Komplement ersetzt.
Eine Gruppe heißt einfach wenn sie mindestens zwei Elemente und nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge { e } die nur das Einselement enthält und Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. auch Einfache Gruppe .
Ein Modul heißt einfach wenn er keine echten Untermoduln hat.
Eine elliptische Kurve ist eine singularitätenfreie algebraische Kurve der 3 in der projektiven Ebene. Von besonderem z.B. für die Faktorisierung natürlicher Zahlen sind aufgrund ihrer einfachen elliptische Kurven der Form cy 2 = x 3 + ax + b mit c ≠ 0 und 4 a 3 + 27 b 2 ≠ 0.
Eine Menge heißt endlich wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer eine natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer existiert.
Ein Maß heißt endlich wenn das Maß der Grundmenge Ω Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß σ-endlich wenn Ω die abzählbare Vereinigung messbarer endlichen Maßes ist.
In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
In der Physik verwendet man das Wort endlich auch um "von Null verschieden" zu
Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt entartet wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt der für jeden y die Gleichung b ( x y ) = 0 erfüllt. Das Gegenteil heißt regulär .
Man sagt dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt wenn sie für alle bis endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für konvergente Folge dass in jeder Umgebung des fast alle Folgeglieder enthalten sind.
Man sagt dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der für die die Eigenschaft E nicht gilt eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teil eines Euklidischen Raums ist die Punkte von X also reelle Koordinaten haben legt man der Regel das Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.
Eine Permutation σ heißt gerade wenn sie eine gerade Anzahl von hervorbringt. Ein Fehlstand ist ein Paar i j mit i < j aber σ( i )>σ( j ). Siehe alternierende Gruppe .
In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent mit dem die Variable diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad in dem Polynom enthaltenen Summanden.
Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element wenn alle anderen Elemente kleiner sind für jedes Element y die Relation x ≥ y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten existiert nicht immer ist aber im Falle Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes .
In der Funktionentheorie heißt eine Singularität hebbar (auch algebraisch oder regulär ) wenn in der Entwicklung nach ganzzahligen der komplexen Veränderlichen nur endliche negative Potenzen
Eine quadratische Matrix heißt Hermitesch oder selbstadjungiert oder unitär wenn sie zu sich selbst Hermitesch ist. Unter dem Einfluss des Englischen scheint der Sprachgebrauch im Deutschen von Hermitesch zu unitär zu verschieben. Siehe deshalb unitär und unitäre Matrix für weitere Informationen.
Eine Hermitesche Form ist eine Sesquilinearform < >: V × V → C mit <math>\langle x y \rangle = y x \rangle}</math>. Das Skalarprodukt in einem unitärem Raum ist per definitionem eine Hermitesche Form.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum Hermitesch wenn er selbstadjungiert und zusätzlich gewisse topologische Anforderungen erfüllt zumindest bei Dieudonné). In weniger formalen Darstellungen die Attribute Hermitesch und selbstadjungiert austauschbar gebraucht.
In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich wenn sie in Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.
Ein topologischer Raum R ist homogen falls es für alle x und y aus R einen Homöomorphismus f : R → R gibt so dass f ( x ) = y . Anschaulich gesagt bedeutet dies dass der an jedem Punkt gleich aussieht. Alle topologischen Gruppen sind homogen.
Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form a j 1 x 1 + ... + a jn x n = 0 haben (für alle j aus 1 2 .. m ). Wenn auf der rechten Seite in einer Gleichung eine andere Zahl als die steht heißt das Gleichungssystem inhomogen .
In der Zahlentheorie heißen Zahlen homogen wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind. Beispiel: <math>60=2^2\times3\times5</math> und <math>90=2\times3^2\times5</math>.
Eine Funktion f zwischen Strukturen über einem gemeinsamen Grundring R (z.B. Vektorräume über demselben Körper Moduln über demselben Ring) heißt homogen wenn für alle x aus dem Definitionsbereich und alle a aus R die Gleichung f ( a · x ) = a · f ( x ) erfüllt ist. Ist sie darüberhinaus auch additiv dann heißt sie lineare Abbildung .
Ein zweidimensionaler Bilinearraum ( V b ) heißt hyperbolische Ebene wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b ( x x ) = 0 b ( y y ) = 0 b ( x y ) = 1 enthält.
Ein Bilinearraum der als orthogonale Summe von Ebenen dargestellt werden kann heißt hyperbolischer Raum .
Eine Funktion heißt injektiv wenn niemals zwei verschiedene Elemente denselben haben. Eine injektive Funktion ist auf ihrer eindeutig umkehrbar und heißt deshalb auch eineindeutig . Ein injektiver Homomorphismus heißt auch Monomorphismus .
Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel wenn sie nicht reduzibel ist wenn also der Vektorraum in die Darstellung stattfindet keine nichttrivialen Unterräume hat unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie .
Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv wenn kein Element in Relation zu sich selbst ¬ ∃ x : xRx . "Irreflexiv" ist somit nicht das Gegenteil " reflexiv ": eine Relation kann ohne weiteres weder noch irreflexiv sein. Die Relation auf der Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt .
Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element wenn alle anderen Elemente größer sind für jedes Element y die Relation x ≤ y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten existiert nicht immer ist aber im Falle Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes .
Ein topologischer Raum ist ein Kolmogoroff-Raum wenn das Trennungsaxiom T 0 gilt: zu jedem Paar von unterschiedlichen gibt es eine offene Menge die einen enthält jedoch nicht den anderen.
Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich wenn sie durch Verschiebung Drehung und aufeinander abgebildet werden können. Siehe Kongruenz (Geometrie) . Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen heißen Figuren ähnlich .
Zwei Komplexe Zahlen a und b heißen komplex konjugiert zueinander wenn ihre Realteile übereinstimmen und Imaginärteile unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex von 2+ i ist 2- i .
Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander wenn ihre Koeffizienten komplex konjugiert sind. Eine Matrix die komplex konjugiert zu selbst ist ist reell. Matrizen die komplex zu ihrer Transponierten ist heißt Hermitesch .
In der abstrakten Algebra heißen zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L / K zueinander konjugiert wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L ). Jeder K - Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
In einer Gruppe ( G *) heißen die Elemente <math>a</math> und zueinander konjugiert wenn es ein Gruppenelement <math>c</math> gibt dass <math>b=c^{-1}ac</math> ist. Die Abbildung <math>a \mapsto heißt Konjugation mit c . Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.
Eine Funktion der Form f ( x ) = a + bx heißt affin -linear . In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen man stattdessen nur linear . Das ist mit der folgenden in Teilen der Mathematik üblichen Definition von 'linear nur im Sonderfall a =0 kompatibel:
In der Algebra und zahlreichen darauf zurückgreifenden Gebieten der heißt ein funktionaler Zusammenhang f ( x ) linear wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt: Superposition: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ); (2) Homogenität: f (α x ) = α f ( x ) für alle α aus einem zugrunde Körper.
In der Logik heißen Terme linear wenn sie jede Variable höchstens einmal
Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal wenn es in Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale gibt gibt es kein größtes.
Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe Maßtheorie . Die einzelnen Mengen der σ-Algebra eines Maßraums (d.h. eines Messraums auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar ; siehe auch dazu den Artikel Maßtheorie .
Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar da ein Maß keine Metrik ist.
Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal wenn es in Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale gibt gibt es kein kleinstes.
Eine reelle Zahl heißt negativ wenn sie kleiner als Null ist. Zahl die kleiner oder gleich Null ist man am kürzesten als nicht-positiv . Siehe positive und negative Zahlen .
Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s : V × V → K heißt negativ definit wenn s ( v v ) < 0 für alle v aus V \{0}. Siehe auch positiv definit .
Eine Teilmenge M eines topologischen Raums R ist nirgendwo dicht wenn das Innere ihres Abschlusses leer Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen Z ist nirgendwo dicht in der Menge reellen Zahlen R .
In der Geometrie insbesondere in der analytischen Geometrie heißt eine Gerade normal zu einer Ebene wenn sie senkrecht dieser steht.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum normal falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen Umgebungen haben. Normalräume erlauben Zerlegungen der Eins. T 1 -Räume sind immer Tychonoff-Räume .
In der Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise Normalteiler . Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
Da in der Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden folgt dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander heißen wenn ihr Skalarprodukt null ist; das Skalarprodukt in Funktionenräumen in der Regel definiert als Integral von f ( x ) g ( x ) gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w ( x ).
Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal wenn ihre Inverse A -1 mit ihrer Transponierten A T übereinstimmt wenn also A A T = A T A = 1 . Siehe: orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten analoge Symmetrieeigenschaften besitzen heißen unitär ; die Transposition wird dabei durch die Hermitesche Konjugation ersetzt.
Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt orthogonale Gruppe O( n K ).
Ein topologischer Raum ist parakompakt falls jede offene Überdeckung eine offene endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal .
In der Zahlentheorie heißen natürliche Zahlen perfekt wenn sie gleich der Summe ihrer sind. Beispiele: 6=3+2+1; 28=1+2+4+7+14. Ob es ungerade Zahlen gibt ist bis heute unbekannt. Siehe vollkommene Zahl .
Eine reelle Zahl heißt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv wenn sie größer als Null ist. die größer oder gleich Null sind werden kürzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe positive und negative Zahlen .
Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s : V × V → K heißt positiv definit wenn s ( v v ) > 0 für alle v aus V \{0}. Siehe auch negativ definit .
Eine natürliche Zahl (unter Ausschluss der 0 und der heißt prim oder eine Primzahl wenn sie genau zwei natürliche Teiler
Allgemein heißt ein Element eines Integritätsrings prim wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist und als Teiler eines Produkts immer einen der Faktoren teilt.
Eine lineare Darstellung heißt reduzibel wenn der Vektorraum in dem die stattfindet nichttriviale Unterräume hat die unter allen Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
In der Geometrie werden regelmäßige Vielecke und Körper aufgrund schlechter Übersetzungen dem Englischen auch regulär genannt.
Eine parametrisierte differenzierbare Kurve heisst regulär falls ihre Ableitung in Punkt verschwindet.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum regulär wenn jede Umgebung eines Punkts eine Umgebung desselben Punkts enthält. Äquivalent dazu ist Bedingung dass alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p die nicht in C liegen disjunkte Umgebungen besitzen. Siehe Regulärer Reguläre T 0 -Räume sind immer Hausdorff'sch .
Eine zweistellige Relation R heißt reflexiv wenn jedes Element in Relation zu sich selbst ∀ x : xRx . Wenn kein Element in Relation zu sich selbst heißt die Relation irreflexiv .
Als Eigenschaft einer quadratischen Matrix heißt selbtsadjungiert soviel wie Hermitesch oder unitär. Siehe: unitär unitäre Matrix.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum H selbstadjungiert wenn das innere Produkt ( ) alle x und y aus H die Beziehung ( x fy )=( fx y ) erfüllt. Unter zusätzlichen topologischen Bedingungen heißt selbstadjungierter Operator auch Hermitesch .
Eine Abbildung f : V → W zwischen zwei Vektorräumen über dem Körper C der komplexen Zahlen heißt semilinear wenn <math>f(v+w)=f(v)+f(w)</math> und <math>f(\lambda v)=\overline{\lambda}f(v)</math> mit v w aus V und λ aus C . Der Strich über dem Koeffizienten λ komplexe Konjugation .
Eine Abbildung < >: V × W → C (mit zwei Vektorräumen V W und dem Körper C der komplexen Zahlen) heißt sesquilinear (anderthalbfach linear) wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist wenn also cx dy \rangle=c\overline{d}\langle x y \rangle</math> oder der entgegengesetzten ebenfalls gebräuchlichen Konvention <math>\langle cx \rangle=\overline{c}d \langle x y \rangle</math>. Das Skalarprodukt in einem unitären Raum ist eine Hermitesche Form also eine Sesquilinearform < >: V × V → C die unter Vertauschung der beiden Argumente ihr komplex Kongugiertes übergeht.
Eine Funktion heißt surjektiv wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man dieser Definition mindestens durch genau ersetzt erhält man die Definition von bijektiv . Eine surjektive Funktion heißt gelegentlich Surjektion in bestimmtem Kontext auch Projektion . Ein surjektiver Homomorphismus von M nach N heißt auch Homomorphismus "von M auf N ".
Eine Relation R heißt symmetrisch wenn aus a R b stets b R a folgt.
Eine Matrix heißt symmetrisch wenn sie bei Austausch der Indizes mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich übergeht wenn also für ihre Koeffizienten gilt a ij = a ji . Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische für Hermitesche Matrizen.
Ein Element a eines Integritätsrings R heißt teilbar durch ein Element b wenn es ein Element c gibt so dass die Gleichung a = b · c gilt. b und c heißen dann Teiler von a .
Eine Relation R heißt total oder linear wenn je zwei Elemente in der zueinander stehen wenn also für jedes Paar Elementen a b gilt: a R b oder b R a . Ein Spezialfall davon ist der folgende
Eine strenge Halbordnung "<" heißt total oder linear wenn für jedes Paar verschiedener Elemente a b gilt: a < b oder b < a .
Salopp: Eine Menge heißt präkompakt wenn sie mit endlich vielen epsilon-Kugeln überdecken lässt.
Exakt: Eine Menge M heißt präkompakt wenn zu jedes positive reelle epsilon eine natürliche n gibt so dass es Punkte m_1 gibt so dass die Vereinung über die mit Radius epsilon um die Punkte m_i M enthält.
Eine Relation R heißt transitiv wenn aus xRy und yRz folgt daß xRz .
In der Gruppentheorie ist eine Operation transitiv wenn sie nur eine Bahn hat jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf andere Element abgebildet wird. Die Operation heißt zweifach transitiv wenn die Gruppe transitiv auf der aller Paare operiert sie heißt scharf transitiv wenn jedes Element durch genau ein auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. gibt es die Begriffe dreifach transitiv zweifach scharf transitiv etc.
Eine Darstellung heißt treu wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist wenn verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt
Eine quadratische Matrix A heißt unitär wenn ihre Inverse A -1 mit ihrer Hermitesch Adjungierten <math>A^{\dagger}:=\overline{A}^{\rm T}</math> übereinstimmt wenn also <math>A = A^{\dagger} A = 1</math>. Siehe: unitäre Matrix. Unitäre Matrizen haben komplexe unitäre Matrizen mit reellen Koeffizienten heißen orthogonal . Anders formuliert: Unitäre Matrizen sind das Analogon zu orthogonalen Matrizen.
Die Menge aller unitären Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt unitäre Gruppe U( n K ).
