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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 25. Juli 2014 

Affiner Raum


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Der affine Raum nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.

Inhaltsverzeichnis

Informelle Definitionen

Der affine Raum im engsten Sinne ist ein mathematisches Modell für den uns vertrauten dreidimensionalen

In einem weiteren Sinne kann ein Raum wie andere mathematische Räume auch eine beliebige Dimension haben: als affinen Raum kann man die Nullmenge einen einzelnen Punkt die affine Gerade die affine Ebene sowie vier- und höherdimensionale Räume bezeichnen.

Noch abstrakter definiert man einen affinen algebraisch als eine Punktmenge deren Translationen als Wirkung eines Vektorraums aufgefasst werden können.

Alternativ dazu kann man den affinen definieren indem man einige Axiome der Euklidischen Geometrie lockert. Dieser axiomatische Zugang ist wesentlich als der zuvor genannte algebraische aber letztlich

Als weitere Alternative wird die affine Geometrie im Sinne des Erlangener Programms von Felix Klein als Inbegriff der unter affinen Transformationen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt. Hierzu sind Beiträge dringend erbeten: siehe Diskussion:Affiner

Algebraische Definition

Gegeben seien eine Menge A deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst ein Vektorraum V und eine Abbildung von A × A nach V die zwei Punkten P Q A einen Verbindungsvektor <math>\vec{PQ}</math> ∈ V zuordnet so dass gilt:

  • für alle P Q R A gilt: <math>\vec{PQ}+\vec{QR}=\vec{PR}</math> (Beziehung von Chasles)
  • für alle P A und alle <math>\vec{v}</math> ∈ V gibt es einen eindeutigen Punkt Q A so dass <math>\vec{v}=\vec{PQ}</math>.

Das Paar ( A V ) heißt affiner Raum ; wenn klar ist welcher Vektorraum V zugrunde liegt bezeichnet man auch A alleine als den affinen Raum.

Im affinen Raum ist eine Addition oder Translation als Abbildung von A × V nach A dadurch definiert dass <math>P + \vec{v}</math> der über <math>\vec{v}=\vec{PQ}</math> eindeutig bestimmte Punkt Q ist.

Die Dimension des affinen Raums ist definiert als Dimension des Vektorraums V .

Wenn P ein Punkt aus A ist und U ein Untervektorraum von V dann ist ( P + U U ) ein affiner Unterraum von ( A V ).

Beispiele

Weblinks

Siehe auch: Affine Koordinaten



Bücher zum Thema Affiner Raum

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