Algebra

Inhaltsverzeichnis

1 Wortgeschichte 2 Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung Gliederung 3 Algebra als mathematische Struktur 4 "Algebraisch" als Attribut von Zahlen Funktionen 5 "Algebraische" Teilgebiete der Mathematik

Wortgeschichte

Das Wort leitet sich vom indischen Aryabhattiya einem mathematischen Lehrbuch des Mathematikers Aryabhatta dem 5. Jahrhundert ab während die eigentliche Methode Bijaganitam wurde. Im 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese und nannten sie al-jabr ("das Zusammenfügen gebrochener Teile") was aus Titel des Rechen-Lehrbuchs von Al-Khwarizmi entnommen ist.

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und

Die Inhalte und Methoden der Algebra sich im Laufe der Geschichte so stark dass es schwer geworden ist in einer Definition anzugeben was Algebra eigentlich ist. Auch es nicht praktikabel alle Aspekte der Algebra einem Enzyklopädie-Artikel zu behandeln. Wir unterscheiden deshalb keineswegs scharf voneinander abgegrenzte Teilgebiete:

• Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen ganzen und reellen Zahlen den Umgang mit Ausdrücken Variablen enthalten und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen .
• Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra der besagt dass jedes nichtkonstante Polynom n -ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden
• Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten ; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie .
• Die multilineare Algebra handelt von Tensoren .
• Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen Ringe Körper und deren Verknüpfung.
• Die universelle Algebra verallgemeinert die Begriffsbildungen der abstrakten Algebra. geht dabei einen anderen aber eben so Weg wie die Kategorientheorie .

Computer-Algebra-Systeme automatisieren algebraische Rechnungen.

Algebra als mathematische Struktur

Als Algebra (auch: Algebraische Struktur ) bezeichnet man auch das Grundkonstrukt der abstrakten Algebra : eine Menge auf der eine oder Verknüpfungen definiert sind und in der gewisse gelten. Gruppen Ringe Körper sind somit Beispiele spezielle Algebren.

Einige spezielle algebraische Strukturen haben einen der das Wort "Algebra" explizit enthält:

• Eine Mengenalgebra manchmal auch nur Algebra genannt ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π( X ) mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen der axiomatischen Forderung X ∈ A .
  • Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra die abgeschlossen auch einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. bilden eine Grundlage der Maßtheorie .
• Ein Vektorraum zusammen mit einer "Vektormultiplikation" wird als Algebra bezeichnet; siehe dazu Algebra (Vektorraum) . Spezielle Arten solche Algebren sind:
  • assoziative Algebra
  • Lie-Algebra
  • Banach-Algebra
  • Divisionsalgebra
• Boolesche Algebra

"Algebraisch" als Attribut von Zahlen Funktionen Gleichungen

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:

• Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung zu deren Formulierung endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition Subtraktion Multiplikation erforderlich sind in der also zum Beispiel typischen analytischen Funktionen vorkommen.
• Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
• Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem vorgegebenen Körper.

"Algebraische" Teilgebiete der Mathematik

• Kommutative Algebra
• Algebraische Topologie
• Algebraische Geometrie
• Algebraische Zahlentheorie

Heute ist die Grenze um Algebra aufgelöst

Bücher zum Thema Algebra

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.