Algebraische Struktur

Definition

Seien m n aus N ₀ ( natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen <math>\circ_1 \dots \circ_m</math> und äußere Verknüpfungen <math>\bullet_1 \dots \bullet_n</math> mit einem Operatorenbereich gegeben sind so nennt man das n + m +2-Tupel

<math>A = \left(A \circ_1 \dots \circ_m \bullet_1 \bullet_n \Omega \right)</math>

eine algebraische Struktur oder kurz Algebra .

Ist n = 0 so schreibt man kürzer

<math>A = \left(A \circ_1 \dots \circ_m \right)</math>

Das Tripel <math>\tau = (m n heißt der Typ von A . Für n = 0 schreibt man kürzer <math>\tau (m)</math>.

Zusätzlich fordert man für eine algebraische noch dass die Verknüpfungen bestimmte Axiome genannte erfüllen (z.B. spricht man von "Gruppenaxiomen").

Arten von Algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle Verknüpfungen neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen) Inversenabbildungen 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente) alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer

• Gruppoid ( G *): eine Menge mit einer zweistelligen Verknüfung *
• Quasigruppe ( G *): ein Gruppoid in dem die Division stets (eindeutig) möglich ist
• Loop ( G * 1): eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
• Halbgruppe ( G *): ein assoziatives Gruppoid
• Monoid ( G * 1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1
• Gruppe ( G * 1 ^-1 ): ein Monoid mit einem inversen Element a ^-1 für jedes a oder äquivalent dazu eine assoziative Loop
• Abelsche Gruppe ( G + 0 -): eine kommutative Gruppe (wird meist additiv geschrieben das von a ist das Negative -a )
• Ring ( R + 0 - ·): eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + ( Addition ) und · ( Multiplikation ) so dass ( R + 0 -) eine abelsche Gruppe R ·) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
• Unitärer Ring ( R + 0 - · 1): ein mit neutralem Element 1 für die Multiplikation
• Körper ( R + 0 - · 1 ^-1 ): ein Ring so dass ( R \{0} · 1 ^-1 ) eine abelsche Gruppe ist
• Modul ( M + 0 - · R ) über einem Ring R : Eine Menge M mit einer inneren Verknüpfung + und äußeren Verknüpfung ·: R × M -> M ( Skalarmultiplikation ) so dass ( M + 0 -) eine abelsche Gruppe die Skalarmultiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze sind
• Vektorraum ( V + 0 - · K ): ein Modul über einem Körper K
• K -Algebra ( V + 0 - · * K ): Ein Vektorraum (oder Modul) mit einer Verknüpfung * ("Vektormultiplikation") die die Distributivgesetze erfüllt assoziativ mit der Skalarmultiplikation ist (sie muss selbst assoziativ sein!)
• Assoziative Algebra: eine K -Algebra deren Multiplikation assoziativ ist
• Kommutative Algebra: eine assoziative K -Algebra deren Multiplikation kommutativ ist
• (algebraischer) Verband ( V <math>\cap</math> <math>\cup</math>): eine Menge mit zwei assoziativen idempotenten Verknüpfungen (Durchschnitt und Vereinigung) die erfüllen
• Boolescher Verband ( V <math>\cap</math> <math>\cup</math> 0 1 ¬): ein mit neutralen Elementen 0 und 1 für und <math>\cup</math> der zwei Distributivgesetze erfüllt und ¬ a hat
• Menge : eine algebraische Struktur ohne Verknüpfungen

Für eine diagrammatische Darstellung der besonders algebraischen Strukturen Halbgruppe Gruppe Ring Schiefkörper Körper Vektorraum siehe Algebraische Strukturen (bildliche Übersicht) .

Eigenschaften

Aussagen die auf alle algebraischen Strukturen werden in der universellen Algebra betrachtet.

Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische sein wie z.B. topologische Räume . Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl topologische als auch eine algebraische Struktur. Andere Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen .

Jede algebraische Struktur hat ihren eigenen Homomorphismus -Begriff. Ein Homomorphismus ist dabei stets eine Funktion zwischen gleichartigen Strukturen die mit allen vertauschbar ist. In diesem Sinne definiert jede Struktur eine Kategorie .

Noch zu übersetzen
For example the category of groups all groups as objects and all group as morphisms. This category being a concrete may be regarded as a category of with extra structure in the category-theoretic sense. the category of topological groups (with continuous homomorphisms as morphisms) is a category of spaces with extra structure.

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