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Algebraische Unabhängigkeit


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In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaften von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung welche besagt dass diese Elemente keine Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Beispiele

  • Die reellen Zahlen π+1 und π 2 (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den Zahlen Q (denn sie erfüllen mit X = und Y = π 2 die Polynomgleichung 0 = Y - 2 ).
  • Ebenso sind π und die imaginäre Einheit i algebraisch abhängig über Q (denn mit X = π und = i gilt 0 = 0·X + Y 2 + 1).

Beispiele von komplexen Zahlen die über Q algebraisch unabhängig sind sind schwerer zu (gibt es überhaupt "aufschreibbare" Beispiele?) obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele über Q algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Leicht es dagegen Beispiele in anderen Körpern zu

  • Im rationalen Funktionenkörper Q (X Y) in zwei Unbestimmten X und über den rationalen Zahlen sind die Elemente und Y algebraisch unabhängig denn nach Definition Körpers ist das einzige Polynom in zwei das an der Stelle (X Y) gleich ist das Nullpolynom.

Definition

Sei L / K eine Körpererweiterung . Seien v 1 ... v n Elemente von L . Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f in n Variablen und Koeffizienten in K d.h. f in K [X 1 ... X n ]\{0} so dass

f (v 1 ... v n ) = 0
dann heißen v 1 ... v n algebraisch abhängig .

Existiert kein solches Polynom dann heißen Elemente algebraisch unabhängig .

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen M von L erweitert werden indem man eine Menge M algebraisch abhängig nennt wenn sie eine abhängige endliche Teilmenge hat.

Mit Polynomen erhält man auch die von Inversen denn z.B. stehen X = und Y = 1/e in der Polynom-Beziehung = 1.

Jedes über dem Grundkörper K algebraische Element ist algebraisch abhängig denn erfüllt ein Polynom über K . (So wie der Nullvektor eines Vektorraums schon linear abhängig ist.)

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom) welches den Begriff linearen Unabhängigkeit liefert betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente d.h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente Transzendenzbasis ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.



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