Algebraischer Abschluss

In der Algebra ist der algebraische Abschluss eines Körpers K eine algebraisch abgeschlossene algebraische Erweiterung von K .

Mit Hilfe von Zorns Lemma kann man beweisen dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss hat und dass Abschluss eindeutig im folgenden Sinne ist: Hat zwei algebraische Abschlüsse L und M von K dann gibt es einen Körper- Isomorphismus f : L -> M der K punktweise fest lässt (also f ( x )= x für alle x in K ). Diese Eindeutigkeit bis auf Isomorphie erlaubt von dem algebraischen Abschluss von K zu sprechen.

Der algebraische Abschluss C von K ist die größte algebraische Erweiterung von K denn ist L irgendeine algebraische Erweiterung von K dann ist der algebraische Abschluss von L auch einer von K also ist L ein Teilkörper von C . Der algebraische Abschluss C ist auch die kleinste algebraisch abgeschlossene von K denn ist M eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung von K dann bilden die über K algebraischen Elemente von M einen algebraischen Abschluss von K also liegt C in M .

Der algebraische Abschluss von K hat dieselbe Mächtigkeit wie K falls K unendlich ist und ist abzählbar falls K endlich ist.

Beispiele:

• Der Fundamentalsatz der Algebra besagt dass der algebraische Abschluss der reellen Zahlen R der Körper der komplexen Zahlen C ist.

• Der algebraische Abschluss der rationalen Zahlen Q ist der Körper der algebraischen Zahlen.

• Es gibt viele abzählbare algebraisch abgeschlossene Oberkörper der algebraischen Zahlen in C . Sie sind algebraische Abschlüsse transzendenter Erweiterungen Q .

• Für einen endlichen Körper F _p der Primzahl-Ordnung p ist der algebraische Abschluss ein abzählbar Körper der Charakteristik p und enthält für jede natürliche Zahl n einen Teilkörper der Ordnung p ⁿ (er besteht sogar aus der Vereinigung Teilkörper).

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