Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von und transzendenten Zahlen auf beliebige Körpererweiterungen .

Ist L / K eine Körpererweiterung dann heißt ein Element a von L algebraisch über K wenn es ein Polynom mit Koeffizienten K gibt das a als Nullstelle hat. Ein Element für kein solches Polynom existiert heißt transzendent über K .

Für die Erweiterung C / Q stimmen diese Begriffe mit denen der bzw. transzendenten Zahl überein.

Beispiele

• Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch Q denn sie ist eine Nullstelle des X ² -2 dessen Koeffizienten rational sind.
• π und e sind transzendent über Q aber algebraisch über R .
• Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K denn es ist Nullstelle von X- a .
• Jede komplexe Zahl die sich durch rationale Zahlen die + - * / und Wurzelziehen (mit Wurzelexponenten) bilden lässt ist algebraisch über Q .
• Aus der Galoistheorie folgt dass es aber auch über Q algebraische Zahlen gibt die sich nicht diese Weise darstellen lassen.
• Über dem Körper Q _p der p-adischen Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe reziproken Fakultäten) algebraisch denn für p>2 ist ^p und für p=2 ist e ⁴ in Q _p enthalten.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für Element a aus L (einem Oberkörper von K ):

• a ist algebraisch über K
• die Körpererweiterung K ( a )/ K hat endlichen Grad d.h. K ( a ) ist als K -Vektorraum endlichdimensional.
• K [ a ] = K ( a ).

Diese Charakterisierung kann genutzt werden um zeigen dass Summe Differenz Produkt und Quotient über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L / K den so genannten algebraischen Abschluss in L .

Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K dann gibt es viele Polynome über K mit g ( a )=0. Es gibt aber genau ein normiertes von kleinstem Grad mit Nullstelle a dieses heißt das Minimalpolynom von a über K . Aus ihm kann man viele Eigenschaften a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K ( a )/ K .

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