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Allgemeine Relativitätstheorie


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Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Wechselwirkung zwischen Raum und Zeit einerseits und Masse andererseits. In ihrer Kernaussage führt sie Gravitation auf ein geometrisches Phänomen in einer 4-dimensionalen Raumzeit zurück. Sie wurde von Albert Einstein und 1916 veröffentlicht.

Die allgemeine Relativitätstheorie stellt eine Erweiterung speziellen dar und geht für hinreichend kleine der Raumzeit in diese über.

Obwohl die allgemeine Relativitätstheorie experimentell nicht leicht zugänglich ist wie die spezielle gibt für sie eine ausreichende Zahl von experimentellen Belegen. Insbesondere hat sie sich bisher der von Einstein formulierten Form gegen alle vorgeschlagenen Alternativen durchsetzen können.

Der folgende Artikel baut auf den des Artikels Relativitätstheorie auf und hat zum Ziel das bezüglich der dort erwähnten Phänomene und Strukturen zu vertiefen.

Inhaltsverzeichnis

Die Wechselwirkung zwischen Materie und der

Ein bemerkenswertes Ergebnis der allgemeinen Relativitätstheorie eine der naiven Anschauung unzugängliche Wechselwirkung zwischen Masse und der Raumzeit mit den beiden Eigenschaften:

  • Masse krümmt die Raumzeit in ihrer Umgebung.
  • Die Weltlinie eines kräftefreien Gegenstandes in gekrümmten Raumzeit ist eine Geodäte d. h. eine Linie die alle auf ihr durch die kürzeste aller möglichen verbindet.

Die erste Eigenschaft beschreibt eine Wirkung Masse auf die Raumzeit und die zweite Es handelt sich daher um eine Wechselwirkung Wortsinn.

Zur Masse trägt dabei genaugenommen nicht ihre materielle Komponente bei sondern alle Energieformen da einer Energie über die Beziehung 2 auch eine Masse entspricht. So sind auch evtl. vorhandene elektromagnetische Felder zu berücksichtigen da sie auch eine darstellen. In welcher Weise die Masse die krümmt wird durch die einsteinschen Feldgleichungen festgelegt u.).

Die zweite Eigenschaft beschreibt die Gravitation . Dabei wird die Bewegung eines Gegenstands eines bestimmten Weges im Raum als Linie der 4-dimensionalen Raumzeit interpretiert und als seine bezeichnet. Das sei am Beispiel eines Systems Massenpunkten erläutert wie beispielsweise einem Kugelsternhaufen . Da ein Beobachter in jedem Moment den gewöhnlichen 3-dimensionalen Raum wahrnehmen kann und nicht die 4-dimensionale Raumzeit kann er die Geodäten der Sterne nicht unmittelbar als solche erkennen. Auf eigenen Weg durch die Raumzeit beobachtet er dessen im Raum krumme Bahnkurven der Sterne das Zentrum des Haufen aus denen er der newtonschen Mechanik auf Kräfte schließt die er Gravitationskräfte In Wirklichkeit handelt es sich jedoch um Scheinkräfte als Folge der Krümmung der Raumzeit. Jeder Stern fliegt in Sinne in der Raumzeit so gut geradeaus es angesichts der Krümmung überhaupt möglich ist. Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es letztlich Gravitationskräfte. In diesem Sinne bezieht sich auch Kräftefreiheit von der oben die Rede ist auf die Abwesenheit von nicht-gravitativen Kräften.

Der schiefe Wurf als Folge einer gekrümmten

Eine Krümmung der Raumzeit hat im auch eine Krümmung des in sie eingebetteten zur Folge. Zur Erklärung der Gravitation reicht Betrachtung des krummen Raumes alleine jedoch nicht So ist der Raum in dem wir der Erde leben natürlich nicht so stark dass er eine Wurfparabel erklären könnte. Zum Verständnis der Wurfparabel man berücksichtigen dass beispielsweise ein Ball den Jongleur von einer Hand in die andere auf seinem Weg durch den Raum von 1m auch einen Weg durch die Zeit etwa 1s zurücklegt. Im Rahmen der Mathematik Raumzeit entspricht diese eine Sekunde in gewisser einer Art Wegstrecke in Richtung der Zeitachse etwa 300.000km. Diesen Wert erhält man indem der Zeit t über x=ct einen Weg in der Raumzeit zugeordnet wobei c die ist. Was wir letztlich sehen ist also winzige Krümmung der Raumzeit in einen Gebiet astronomischem Ausmaß. Die Situation ist vergleichbar mit straff gespannten Wäscheleine. Betrachtet man sie von Seite so erscheint sie gerade. Betrachtet man jedoch von einem Ende aus und blickt einem Auge in ihre Richtung so nimmt auch einen relativ schwachen Durchhang deutlich wahr. Umstand dass wir den Ball auf seinem von 300.000km begleiten lässt uns analog die der Raumzeit deutlich erkennen.

Das Gleichnis mit der Wäscheleine ist plausibel und liefert qualitativ das richtige Ergebnis ist aber strenggenommen nicht ganz zutreffend. Im zur Wäscheleine fliegt der Ball nämlich entlang Geodäte und damit tatsächlich geradeaus so "gut" das in der gekrümmten Raumzeit kann. Wir nehmen den krummeren Weg da wir durch Gegenkraft nach oben beschleunigt werden mit der der Boden auf dem wir stehen. nach drückt. Es ist die Gegenkraft die die kompensiert mit der vorteilhaften Folge dass wir in die Tiefe stürzen. Genauer betrachtet äußert also die Krümmung der Raumzeit in dieser dadurch dass wir nicht von der Stelle obwohl wir einer permanenten Kraft von unten sind. Das Argument dass sich hier zwei kompensieren würden ist dadurch haltlos dass die unten gerichtete Gravitationskraft als Scheinkraft entlarvt wurde. Situation ist vergleichbar mit der des scheinbaren von Zentrifugal- und Zentripetalkraft bei einer Rotationsbewegung die für den rotierenden Beobachters vorliegt. den ruhenden Beobachter jedoch ist die Zentrifugalkraft Scheinkraft so dass tatsächlich eine Beschleunigung vorliegt (s. Corioliskraft ).

Äquivalenz von Träger und Schwerer Masse

Bereits in der klassischen Mechanik war das Prinzip der Äquivalenz von träger und schwerer Masse bekannt. Es besagt in seiner klassischen dass die schwere Masse die angibt wie die durch ein Gravitationsfeld an einem Körper Kraft ist und die träge Masse die wie stark ein Körper durch eine Kraft wird äquivalent sind. Dies bedeutet insbesondere dass Körper sich unabhängig von seiner Masse in Schwerefeld (bei Abwesenheit anderer Kräfte) gleich bewegt. fallen beispielsweise im Vakuum alle Körper gleich und die geostationäre Bahn (die Bahn in ein Satellit für eine Erdumkreisung gerade einen braucht so dass der Satellit über der stillzustehen scheint) ist für schwere Satelliten wie leichte Satelliten stets dieselbe.

Folge des klassischen Äquivalenzprinzips ist auch ein Beobachter in einem geschlossenen Raum ohne der Umgebung aus der Bewegung von Gegenständen Raum nicht ablesen kann ob er sich Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. Dieses wurde von Einstein verallgemeinert. Das Einsteinsche Äquivalenzprinzip dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum Information von außen durch überhaupt kein Experiment feststellen kann ob er sich der Schwerelosigkeit befindet oder nicht.

Es muss allerdings beachtet werden dass Prinzip nur lokal gilt: So wird ein weiter unten an der Erde ) befindliches Objekt von der Erde stärker als ein weiter oben befindliches. Ist der fallende Raum groß genug so wird der daher feststellen dass Objekte die sich weiter befinden von denen die sich weiter unten entfernen. Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler des Raumes die Richtung der Erdanziehung merklich so dass der frei fallende Beobachter feststellen dass weit auseinandergelegene Körper sich aufeinander zu Ein ausgedehnter Körper wird also eine Kraft die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt. Anhand dieser Kraft Gezeitenkraft genannt kann er feststellen dass er in einem Gravitationsfeld befindet. Daher muß der hinreichend klein sein damit dieser Effekt unterhalb Nachweisgrenze bleibt (genauere Meßgeräte bedingen entsprechend einen kleineren Raum).

Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie wird Äquivalenzprinzip dadurch erklärt dass die Gravitationskraft als Scheinkraft eingeführt wird welche dadurch entsteht dass Koordinatensystem so gewählt wird dass die Geodäten Geraden sind. Alle Scheinkräfte haben die Eigenschaft sie proportional zur trägen Masse des Körpers Somit ist auch die Gravitationskraft proportional zur Masse und träge und schwere Masse also

Die Gravitationskraft unterscheidet sich von den Scheinkräften insoweit als dass es kein euklidisches gibt in dem sie an jedem Punkt

Krümmung der Raumzeit ohne eine 5. Dimension

Man würde zunächst vermuten dass für Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit eine fünfte Dimension erforderlich ist die die Raumzeit eingebettet ist so wie Alltag krumme Flächen nur im Raum denkbar Eine solche fünfte Dimension wäre jedoch prinzipiell und die Art der Einbettung der Raumzeit nicht eindeutig. Da es möglich ist die mathematisch ohne einen Bezug zu einer fünften zu beschreiben wird ihr auch keine Realität So lässt sich beispielsweise eine Krümmung des über die Bestimmung des Verhältnisses von Durchmesser Umfang eines Kreises oder die Kontrolle der Winkelsumme des Dreiecks vermessen ohne diesen Raum einer weiteren Dimension aus zu analysieren zu

Die mathematische Beschreibung der Gravitation

Die mathematische Beschreibung einer krummen Raumzeit mit den Methoden der Riemannschen Geometrie die die Euklidische Geometrie des uns vertrauten flachen Raumes ablöst. wird die Krümmung über einen so genannten beschrieben. Die Einsteinschen Feldgleichungen stellen den Zusammenhang mit einen so Energie-Impuls-Tensor her der insbesondere die lokale Massendichte über E=mc 2 die Energiedichte enthält. Diese Grundgleichungen der Relativitätstheorie enthalten 10 unabhängige Komponenten ähnlich wie eine Vektorgleichung aus 3 besteht. Sie lauten:

<math>R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + g_{ik} = 8 \pi {G \over c^4}

Dabei ist <math>R_{ik}</math> der Ricci-Krümmungstensor <math>R</math> Ricci-Krümmungsskalar <math>g_{ik}</math> der Metrische Tensor <math>\Lambda</math> die kosmologische Konstante <math>T_{ik}</math> der Energie-Impuls-Tensor <math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit <math>G</math> die Gravitationskonstante und π die Kreiszahl . Die kosmologische Konstante Λ wurde von zunächst lediglich eingeführt um ein zeitlich stabiles zu gewährleisten. Das Gleichgewicht das er damit erwies sich jedoch als ein instabiles. Λ formal den Stellenwert einer Art Integrationskonstanten und daher zunächst keinen bestimmten Zahlenwert der direkt der Theorie folgen würde.

Das Relativitätsprinzip in der allgemeinen Relativitätstheorie

Eine krumme Raumzeit ist nicht mehr kartesischen Koordinaten beschreibbar. Statt dessen kann das für das man die Einsteinschen Feldgleichung aufstellen nahezu beliebig insbesondere beliebig krumm gewählt werden. muss lediglich jedem Ereignis in Raum und auf irgendeine Weise 4 Parameter zuweisen. Genaugenommen sie lediglich auf kleinen Raumgebieten die der Relativitätstheorie gehorchen hinreichend differenzierbare Funktionen der dort definierbaren kartesischen Koordinaten sein damit die Methoden Differentialgeometrie für die krumme Raumzeit überhaupt angewendet können.

Damit gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie deutlich erweitertes Relativitätsprinzip. Die Gesetze der Physik danach nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form wie in der Relativitätstheorie sondern in beliebigen Koordinatensystemen .

Dieses Ergebnis hat Konsequenzen die nicht Anhieb verständlich sind. So bedeutet es beispielsweise selbst einen Beobachter auf einem rotierenden Drehschemel Standpunkt vertreten kann er sei in Ruhe der Kosmos rotiere um ihn herum. In der beschreiben die Einsteinschen Feldgleichungen selbst diese Situation In diesem rotierenden Koordinatensystem nimmt der Krümmungstensor an die tatsächlich die enormen Zentripetalkräfte zur haben die die Sterne auf ihrer Keisbahn um den Beobachter ihrer Bahn halten. Dass sich dabei die aus Sicht des rotierenden Beobachters mit vielfacher Lichtgeschwindigkeit bewegen steht nicht im Widerspruch zur da die Lichtgeschwindigkeit nur in der speziellen als Grenze gilt d. h. für hinreichend Raumzeit-Bereiche die die Kriterien für Inertialsysteme erfüllen. der Sicht des rotierenden Beobachters können sich einigen Lichtjahren Entfernung senkrecht zur Rotationsachse jedoch Sterne in Ruhe befinden so dass sich Sterne lokal mit Überlichtgeschwindigkeit begegnen können. Ein bzw. Materietransport von einem Stern zu einem mit Überlichtgeschwindigkeit bleibt damit weiterhin unmöglich.

Obwohl es möglich ist den Kosmos der Sicht eines rotierenden Beobachters zu beschreiben die Gleichungen eines nicht-rotierendes Bezugssystems in dem meisten Objekte ruhen oder sich nur langsam in der Regel einfacher. Im allgemeinen Fall beispielsweise eines Kugelsternhaufens aus Neutronensternen und Schwarzen die sich auf allerengstem Raum umkreisen so die Raumzeit hochgradig gekrümmt und zudem dynamisch ist von vornherein kein Kandidat für ein Koordinatensystem erkennbar. Das Relativitätsprinzip besagt für diesen Fall dass es auch nicht nötig ist zu suchen.

Die Allgemeine Relativitätstheorie und das machsche Prinzip

Einstein war bei der Entwicklung der stark von Ernst Mach und dessen von Einstein so benannten Prinzip beeinflusst. Dieses Prinzip besagt dass die eines Körpers nicht von dessen Bewegung relativ einem absoluten Raum sondern von dessen Bewegung zu den anderen Massen im Universum abhängt. Trägheitskräfte sind also Resultat der Wechselwirkung der untereinander und ein unabhängig von diesen Massen Raum wird verneint. Demnach sollten z.B. Fliehkräfte Körper verschwinden wenn das restliche Universum "mitrotiert". Behandlung des Problems ist jedoch mathematisch sehr und bis heute Gegenstand von Forschungen. Es sich herausgestellt dass dieses Prinzip nicht automatisch den Einsteinschen Feldgleichungen folgt. So fand Kurt Gödel 1949 eine Lösung der Feldgleichungen (Gödel-Universum) dem Machschen Prinzip widerspricht. D.R. Brill und Cohen konnten hingegen 1966 für eine langsam dünne Massenschale mit dem Durchmesser ihres Schwarzschildradius Näherungslösung der Einsteinschen Feldgleichungen angeben die das Prinzip erfüllt.

Siehe auch


Weblinks



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