Allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper F GL( n F ) ist die Gruppe aller invertierbaren n × n Matrizen mit Koeffizienten aus F . Gruppenverknüpfung ist die Matrixmultiplikation.

Wenn der Körper F die endliche Ordnung q hat (also ein endlicher Körper ist) schreibt man auch GL( n q ) statt GL( n F ). Wenn aus dem Kontext klar ist der Körper die Menge R der reellen oder C der komplexen Zahlen ist schreibt man auch GL( n ).

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung Symmetrien .

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum 2 Untergruppen von GL(n F) 3 Über R und C 4 Über endlichen Körpern 5 Projektive lineare Gruppe

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum

Wenn V ein Vektorraum über einem Körper F ist schreibt man GL( V ) oder Aut( V ) für die Gruppe aller Automorphismen von V also aller bijektiven linearen Abbildungen V → V mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als

Wenn V die Dimension n hat sind GL( V ) und GL( n F ) isomorph. Allerdings ist dieser Isomorphismus nicht bestimmt; er hängt von der Wahl einer von V ab. Für eine gegebene Basis kann Automorphismus von V durch eine invertierbare n × n -Matrix dargestellt werden wodurch der Isomorphismus von V ) auf GL( n F ) hergestellt wird.

Für n ≥ 2 ist die Gruppe GL( n F ) nicht abelsch .

Untergruppen von GL( n F )

Jede Untergruppe von GL( n F ) wird eine lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

Die Untergruppe aller diagonalen Matrizen beschreibt des Raums.

Die spezielle lineare Gruppe SL( n F ) enthält alle Matrizen mit der Determinante 1. SL( n F ) ist eine normale Untergruppe von GL( n F ); und die Faktorgruppe GL( n F )/SL( n F ) ist isomorph zu F ^× der multiplikativen Gruppe von F (ohne die 0).

Die orthogonale Gruppe O( n F ) enthält alle orthogonalen Matrizen kenntlich an Determinante von -1 oder +1. Für F = R beschreiben diese Matrizen Automorphismen des R ⁿ mit Erhaltung der Euklidischen Norm und des Skalarprodukts .

Über R und C

Die allgemeine lineare Gruppe GL( n ) über dem Körper R oder C ist eine Lie-Gruppe über F und hat die Dimension n ² .

Beweis: GL( n ) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit F ⁿ aller n × n -Matrizen die die Dimension n ² hat. GL( n ) entsteht aus F ⁿ durch Einschränkung auf Matrizen mit einer ungleich 0. Die Determinante ist eine stetige polynomiale) Abbildung. GL( n ) ist eine nichtleere offene Untermenge von F ⁿ und hat deshalb die gleiche Dimension. Mir ist unklar welches topologische Argument hier wird - Nachbesserung erbeten.

Die Lie-Algebra zu GL( n ) besteht aus allen n × n -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während GL( n C ) einfach zusammenhängend ist hat GL( n R ) zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit Determinante enthält das Einselement und bildet eine GL ⁺ ( n R ). Diese Untergruppe ist eine einfach zusammenhängende mit reeller Dimension n ² und hat dieselbe Lie-Algebra wie GL( n R ).

Über endlichen Körpern

Wenn F ein endlicher Körper mit q Elementen ist dann ist GL( n F ) eine endliche Gruppe mit

( q ⁿ - 1) · ( q ⁿ - q ) · ( q ⁿ - q ² ) · ... · ( q ⁿ - q ^{n -1} )

Hierzu mehr im englischen Artikel

Projektive lineare Gruppe

Die projektive lineare Gruppe PGL( V ) über einem Vektorraum V über einem Körper F ist die Faktorgruppe GL( V )/ F ^× wobei F ^× die Menge der skalaren Vielfachen k ·id der Identität id: V → V ist mit k aus F \{0}. Die Bezeichnungen PGL(n F ) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Wenn F ein endlicher Körper ist sind PGL(n F ) und SL(n F ) gleichmächtig aber im allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie wo das Analogon zur allgemeinen linearen die projektive lineare Gruppe ist zum n -dimensionalen projektiven Raum über F gehört dabei die Gruppe PGL( n +1 F ). Dies ist eine Verallgemeinerung der Gruppe Möbius-Transformationen der PGL ₂ .

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