Alternierende Gruppe

Die Trägermenge von Alt _n besteht aus den geraden Permutationen von Sym _n Alt _n besitzt die Ordnung n!/2 (= halbe Fakultät von n).

Für n > 4 gehört Alt _n zu den einfachen Gruppen .

Alt ₅ ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe ; sie ist isomorph zur Punktgruppe des Ikosaeders ( Ikosaedergruppe ).

Inhaltsverzeichnis

1 Inversionen und Inversionszahl gerade und ungerade 2 Gruppeneigenschaften 3 Abgeschlossenheit 3.1 Transpositionen 3.2 Transpositionen und Inversionszahl 3.3 Transpositionen und Abgeschlossenheit

Inversionen und Inversionszahl gerade und ungerade

Beispiel: Die Permutation ( 1 4 3 2 5 ) besitzt die "4vor3" "4vor2" und "3vor2" und damit die 3.

Von einer geraden Permutation spricht man deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist von ungeraden Permutation spricht man wenn deren Inversionszahl ungerade Zahl ist.

Gruppeneigenschaften

• Die identische Permutation id = ( 1 2 ... n ) ist Element dieser Menge.
• Die Menge ist bezüglich Verkettung abgeschlossen d.h. wenn p1 und p2 Permutationen sind sind auch p1 ◊ p2 und p1 ^-1 gerade eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen "erbt" Alt _n direkt von Sym _n alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

• Für alle geraden Permutationen p1 p2 p3 gilt: p1 ◊ ( p2 ◊ p3 ) = ( p1 ◊ p2 ) ◊ p3
• Für alle geraden Permutationen p1 gilt: id  =  id  ◊ p1 = p1
• Für alle geraden Permutationen p1 gilt: gibt ein gerades p1 ^-1 mit p1 ◊ p1 ^-1  = p1 ^-1  ◊ p1 = id

Abgeschlossenheit

Transpositionen

Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen und p2: p2 läßt sich mit endlich Transpositionen aus p1 erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine Permutationen p2: p2 läßt sich mit endlich Transpositionen aus der identischen Permutation id erzeugen.

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen eine gewisse Freiheit so könnte man im links beispielsweise die Transpositionen b und c lassen da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso man durch den Einbau weiterer sinnloser Transpositionen Anzahl der Transpositionen auf 7 9 11 erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich ( 2 5 3 1 4 ) einer geraden Anzahl von Transpositionen aus ( 1 2 3 4 5 ) zu

Transpositionen und Inversionszahl

Bei einer Transposition die aus
( ... x ...y _i ... z ... ) die neue Permutation
( ... z ...y _i ... x ... ) erzeugt setzt sich die Änderung der zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

• Änderung die sich aus der neuen von x und z ergibt diese ist falls x < z ansonsten -1.
• Änderung die sich aus der neuen von x y _i und z ergibt.
  • falls y _i größtes oder kleinstes Element von x _i z ist beträgt die Änderung 0.
  • falls y _i mittleres Element von x y _i z ist beträgt die Änderung +2 -2.

• Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl d.h. aus einer geraden Permutation eine ungerade und umgekehrt.
• Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl d.h. aus einer geraden Permutation erneut eine gerade Permutation und aus einer Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

Transpositionen und Abgeschlossenheit

• alle geraden Permutationen lassen sich nur eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
• alle ungeraden Permutationen lassen sich nur eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn p und q gerade Permutationen dann gibt es gerade Zahlen pn und so daß sich p und q als von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

• p = t _p1  ◊ ... ◊ t _pn
• q = t _q1  ◊ ... ◊ t _qn

Analog kann man herleiten: Die Verkettung geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer ungerade Permutation. Damit führt die Annahme eine p sei gerade und p ^-1 sei ungerade wegen p ◊ p ^-1  =  id zum Widerspruch.

Siehe auch:   Gruppentheorie Symmetrische Gruppe

Bücher zum Thema Alternierende Gruppe

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