Analytische Funktion

In der Funktionentheorie wird gezeigt dass eine Funktion f einer komplexen Variablen die einer offenen Kreisscheibe D diffenzierbar ist in der gleichen offenen Umgebung D unendlich oft differenzierbar ist und dass Potenzreihe um den Mittelpunkt c der Kreisscheibe

<math>\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(c) \over n!} (z-c)^n</math>

für jeden Punkt z aus D gegen f ( z ) konvergiert. Dies ist ein wichtiger Aspekt dem Funktionen in der komplexen Ebene einfacher handhaben sind als Funktionen einer reellen Variablen. benutzt man in der Funktionentheorie die Attribute analytisch und holomorph und oft auch regulär synonym.

Dagegen gibt es in der reellen unendlich oft differenzierbare Funktionen die nicht analytisch Als Beipiel diene die Funktion

<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}\exp(-1/x^2) & \mbox{if}\ x\neq 0 \\ \\ & \mbox{if}\ x=0 \end{matrix}\right\} </math>

die für alle x aus R auch im Punkt 0 beliebig oft ist. Aus f ⁽ⁿ⁾ (0) = 0 für alle n folgt die Taylor-Reihe von f

<math>\sum_{n=0}^\infty {0\over n!}x^n = 0 </math>

die außer im Punkt x = 0 nicht mit f ( x ) übereinstimmt. Somit ist f im Punkt 0 nicht analytisch.

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