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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 31. Oktober 2014 

Analytische Geometrie


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Die analytische Geometrie gehört zur Geometrie und ist als Bindeglied zur Analysis Teilgebiet der Mathematik . Die herkömmliche Geometrie wird axiomatisch aufgebaut dass Grundbegriffe wie Punkt oder Gerade durch Axiomensystem festgelegt sind. In der analytischen Geometrie diese Grundbegriffe hingegen mittels eines Koordinatensystems definiert.

Ebene analytische Geometrie

Dieses Teilgebiet beschäftigt sich mit der Geometrie der Ebene .

Formelsammlung

Es seien <math>P:=(x y) \ P_1 (x_1 y_1) \ ... \ P_n := y_n)</math> Punkte der Ebene <math>\vec a := a_y) \ \vec b := (b_x b_y) ... </math> Vektoren.

  • Abstand zwischen <math>P_1</math> und <math>P_2</math>:
    <math> d=\sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 }</math>

  • Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{P_1 P_2}</math>:
    <math> P_M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} \ \ \right)</math>

  • Dreiecksschwerpunkt des Dreiecks <math>P_1P_2P_3</math>:
    <math> S = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \ \ \right)</math>

  • Dreiecksfläche (<math>\vec a := \overrightarrow{P_1P_2}\ \ \vec := \overrightarrow{P_1P_3}</math>) :
    <math>A = \pm \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}</math>

  • Fläche des Polygons <math>P_1 P_2 ... P_n</math>:
    <math> A = \pm \frac{1}{2} \cdot \left( y_2 + x_2 y_3 + ... + y_n + x_n y_1 \ - \ y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 ... - x_n y_{n-1} - x_1 y_n

  • Winkel <math>\vartheta</math> zwischen zwei Vektoren (vergleiche Skalarprodukt ):
    <math> \cos \vartheta = \frac{\vec a \cdot b}{|\vec a| \ | \vec b|} = b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2} \ + b_y^2}}</math>

Räumliche Analytische Geometrie

Formelsammlung

Es seien <math>P:=(x y z) \ := (x_1 y_1 z_1) \ ... \ := (x_n y_n z_n)</math> Punkte im Raum a := (a_x a_y a_z) \ \vec := (b_x b_y b_z) \ ... </math>

  • Tetraedervolumen (<math>\vec a := \overrightarrow{P_0P_1}\ \ \vec := \overrightarrow{P_0P_2} \ \ \vec c := :
    <math> V= \pm \frac{1}{6} [ \vec \vec b \vec c ] = \pm
\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z \\ c_x c_y & c_z \end{vmatrix}</math>



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