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Asymptote


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Asymptote ist eine Tangente in der Unendlichkeit .
In der Mathematik betrachtet man Asymptoten (altgriechisch: Nichtzusammenfallende ) bei der Kurvendiskussion . Eine Asymptote der Funktion f : R -> R ist eine Gerade oder eine einfache der sich die Funktion f beliebig annähert.

Man unterscheidet zwischen verschiedenen Typen von

Hat f im Punkt t eine Polstelle d.h. gilt

<math>\lim_{x\to t x<t} f(x) = \pm\infty \ t x>t} f(x) = \pm\infty </math>

dann nennt man die Gerade g : x = t eine senkrechte (oder vertikale ) Asymptote von f .

Konvergiert f für x -> +∞ gegen eine reelle Zahl h d.h. gilt

<math>\lim_{x\to \infty} f(x) = h</math>

dann nennt man die Gerade g : y = h eine waagerechte (oder horizontale ) Asymptote von f . Analoges gilt für den Grenzwert x -> -∞.

Ist p : R -> R ein Polynom dem sich f beim Grenzübergang nach +∞ oder -∞ annähert d.h. gilt

<math>\lim_{x\to\infty} f(x)-p(x) = 0</math> oder <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)-p(x) 0</math>

dann nennt man p eine schräge Asymptote von f . Ist f = g / h eine rationale Funktion (mit Polynomen g und h ) dann hat f stets eine schräge Asymtote. Sie ist bei Polynomdivision von g durch h entstehende Polynom p . Der senkrechte Abstand zu p wird durch die echt gebrochenrationale Restfunktion die dieselben senkrechten Asymptoten wie f hat und die waagerechte Asymptote y = 0.

Beispiele


Die Funktion

<math>
 f_1(x) = \frac{1}{x}  
</math> hat die senkrechte Asymptote g : x = 0 und die waagerechte Asymptote y = 0 .

Die Funktion

<math>
 f_2(x) = \frac{x^3-x^2+5}{5x-5} = \frac{1}{5}x^2 +  
</math> hat die senkrechte Asymptote g : x = 1 und die schräge Asymptote p ( x ) = 1/5 · x² .



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