Auswahlaxiom

Ist <math>A</math> eine Menge von nichtleeren Mengen gibt es eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>A</math> genannt Auswahlfunktion so dass gilt:

<math>\forall X \in A: F(X) \in X</math>.

<math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>X</math> <math>A</math> genau ein Element aus.

Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen anderem das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz .

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer gibt jedoch kein Verfahren an wie man solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem von einer schwachen Existenzaussage . Beispielsweise ist es nicht möglich für allgemeine Menge von Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine explizit anzugeben.

Für welche Fälle das das Auswahlaxiom ist sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

• Für eine endliche Menge <math>A=\{A_1 \ldots von Mengen ist es trivial eine Auswahlfunktion Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes aus was problemlos möglich ist.
• Für Mengen von Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man von jeder Teilmenge das kleinste Element aus.
• Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
• Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion sie anzugeben.

Kurt Gödel zeigte 1937 dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt. 1963 aber zeigte Paul Cohen dass auch Gegenteil des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch Beide Annahmen sind also grundsätzlich akzeptabel.

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweige der darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig der auf Auswahlaxiom verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere darunter viele der theoretischen Physik nahestehenden die Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden insbesondere wegen kontraintuitiver wie dem Banach-Tarski-Paradoxon . Letztlich steht in der Mathematik nicht Debatte ob ein Axiom richtig oder falsch sondern nur ob es mehr oder weniger ist.

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