Axiomatische Definition

Dabei werden die Grundbegriffe also nicht andere Begriffe zurückgeführt sondern nur durch in Axiomen fixierte wechselseitige Beziehungen untereinander charakterisiert.

Da eine axiomatische Theorie stets sehr Modelle hat sind durch eine axiomatische Definition Grundbegriffe der Theorie nicht absolut festgelegt sondern relativ in Wechselbeziehungen untereinander.

Bei der Konstruktion eines Modells für axiomatische Theorie sind demgegenüber durch eine explizite Objekte und Beziehungen zwischen ihnen zu klären zwar so daß die Axiome des zugrundelegenden wahre Aussagen über diese Objekte und Beziehungen

Z.B. werden beim axiomatischen Aufbau der nach Euklid die Begriffe "Punkt" "Gerade" usw. zunächst undefifinierte Grundbegriffe verwendet und bestimmte zunächst Beziehungen zwischen diese wie "liegt auf" "liegt usw. betrachtet.

Die Bedeutung dieser undefinierten Begriffe wird gewisse aus der Erfahrung abstrahierte Aussagen umrissen als unbewiesene Axiome an den Anfang eines Aufbaus der Geometrie gesetzt werden wie z.B. jeder Geraden liegen wenigstens zwei verschiedene Punkte" "zwischen zwei Punkten liegt stets ein weiterer Punkt".

Dabei werden die Objekte "Punkt" "Gerade" und die Beziehungen "liegt auf" "liegt zwischen" durch die Axiome implizit als definiert angesehen. es nun darum geht ein Modell für betrachtete Axiomensystem anzugeben so muß man durch explizite Definition als Punkte Geraden usw. bezeichnete und durch 'liegt auf' 'liegt zwischen' bezeichnete zwischen jenen konstruieren für die die in Axiomen formulierten Eigenschaften gelten die Axiome wahr

Man kann z.B. im Falle der Geometrie wie in der analytischen Geometrie definieren Punkte Paare (x y) von reellen Zahlen durch lineare Gleichungen ax + by = beschriebene Punktmengen sein sollen und die Relation y0) liegt auf ax + by = durch das Erfülltsein der Gleichung ax0 + = c.

Man kann leicht zeigen daß bei Interpretation der üblichen Axiomensysteme für die ebene Systeme von wahren Aussagen über die bei dieses Modells als hinreichend bekannt vorausgesetzten reelen werden.

Da durch eine axiomatische Definition die des betrachteten Axiomensystems implizit beschrieben werden ist sie auch auch die Bezeichnung 'implizite Definition'(lat. inbegriffen) üblich.

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