Babylonisches Wurzelziehen

Die Iterationsvorschrift lautet:

<math>x_{n+1}=\frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}</math>

Hierbei steht <math>a</math> für die Zahl Quadratwurzel bestimmt werden soll. Der Startwert <math>x_0</math> Iteration kann solange er nicht gleich Null beliebig festgesetzt werden wobei zu beachten ist negative Werte gegen die negative Quadratwurzel konvergieren.

Das Verfahren konvergiert relativ rasch innerhalb Schritte. Im Folgenden ein triviales Beispiel für Quadratwurzel aus 9 und die Annäherung nach Berechnungsschritten an den wahren Wert <math> \sqrt{9} 3 </math>.

<math>a=9</math> und <math>x_0=1</math>

<math>x_1=\frac{1 + \frac{9}{1}}{2} =\frac{10}{2}=5</math>

<math>x_2=\frac{5 + \frac{9}{5}}{2} =\frac {\frac {34}{5}} =\frac{34}{10} = 3{ }4</math>

<math>x_3=\frac{\frac{34}{10} + \frac{9}{\frac{34}{10}}}{2} =\frac{\frac{34}{10} + \frac{90}{34}}{2} \approx3{ }0235 </math>

<math>x_4=\frac{\frac{257}{85} + \frac{9}{\frac{257}{85}}}{2} =\frac{\frac{257}{85} + \frac{765}{257}}{2} \approx3{ }00009 </math>

Geschichte

Dieses Verfahren ist auch unter dem Heron-Verfahren bekannt. Es wurde nach Heron von Alexandria benannt und entstammt seiner Formelsammlung .

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