Balkentheorie

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Die Balkentheorie ist ein Teilgebiet der Festigkeitslehre bzw. Elastizitätstheorie bzw. der Statik . Diese sind Teilgebiete der Technischen Mechanik .

Zur Anwendung kommt die Balkentheorie in Ingenieurwissenschaften beispielsweise

Bauingenieurwesen
Maschinenbau
Schiffbau
Luft- und Raumfahrttechnik bzw. Flugzeugbau .

Die Balkentheorie befasst sich mit der von Bauteilen mit folgenden Merkmalen die als bezeichnet werden:

Langgestreckte Gestalt: Die Abmessungen des Bauteils in zwei Dimensionen sehr viel kleiner als der dritten so dass für den Verlauf Spannungen und Verformungen in den Querschnitten arithmetische angesetzt werden können und der geometrische Ort als eine von drei Koordinaten in den zur Berechnung erscheint.
Bei einem Balken im engeren Sinne die Achse im unbelasteten Zustand gerade obwohl auch Bögen mit einer entsprechend erweiterten Form Balkentheorie berechnen kann.
Ein Balken im engeren Sinne besteht elastischem Werkstoff beispielsweise Stahl oder Stahlbeton obwohl auch viele andere Werkstoffe näherungsweise so berechnen als seien sie elastisch. Ein Balken verhält biegesteif. Seile verhalten sich näherungsweise biegeschlaff und deshalb keine Balken.
Die Belastung des Balkens erfolgt quer seiner Achse so dass er sich durchbiegt. das Bauteil nur längs zu seiner Achse wird (Zug/Druck Torsion) und nicht ausknickt nennt es nicht Balken sondern Stab . Wenn das Bauteil zwar nur längs wird aber bei Stabilitätsversagen seitlich ausknickt nennt es zwar Knickstab und nicht Knickbalken aber wird mit einer erweiterten Form der Balkentheorie Zweiter Ordnung) berechnet.
Im engeren Sinne versteht man unter Balken einen Bernoulli -Balken. Dabei gilt die Hypothese: die Querschnitte auch bei Belastungen und Verformungen eben und zur neutralen Faser und bei Biegeschwingungen kann Biegerotationsträgheit vernachlässigt werden. Es gibt jedoch auch allgemeinere und kompliziertere Balkentheorie nämlich die Theorie Timoshenko-Balken.

Die Balkentheorie bezieht sich auch auf die aus einzelnen Balken zusammengesetzt sind.

Im einfachsten Fall wird ein Balken der folgenden linearen inhomogenen Differenzialgleichung berechnet. Sie einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung w und Streckenlast q als Funktion der Koordinate x der Balkenachse her wobei EI die Biegesteifigkeit Balkens ist:

<math>

EI\ w '(x) = q(x) </math> Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich der Art der Auflager und bestehen aus Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente Randbedingungen. Für letztere ist relevant welcher Zusammenhang der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht nämlich

Biegemoment:

<math>

 M(x) = -EI\ w (x)

</math>

Querkraft:

<math>

 Q(x) = -EI\ w (x)

</math>

Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser:

<math>

\sigma_B(z) = \frac{M}{I} z </math> Darin I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert beim maximalen z (an der äußersten Faser Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment .

Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das in Richtung der Haupttägheitsachsen gedreht werden damit die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben wird kann es sich auch nach vorn hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse sich ein Balken in Richtung der Belastung nicht quer dazu.

Bis hier wurde nur die Statik Die Balkendynamik etwa um Balkenschwingungen zu berechnen auf der Gleichung

<math>

 EI\ w '(x t) + b\ \dot{w}(x t) + \ddot{w}(x t)= q(x t)

</math> Das Problem hängt hier nicht vom Ort x sondern zusätzlich von der t ab. Es kommen zwei weitere Parameter Balkens hinzu nämlich die Massenverteilung m (in und die Strukturdämpfung b. Wenn das Bauteil Wasser schwingt beinhaltet m auch die hydrodynamische und in b kann man eine linearisierte der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen siehe Morison-Gleichung.

Während bisher die Kräfte und Momente am unverformten Bauteil bilanziert wurden ist es Falle von Knickstäben erforderlich ein Balkenelement im Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der

<math>

 EI\ w '(x) + N\ w (x) = q(x)

</math> und zwar im einfachsten Fall q=0. Hinzu kommt die axial im Knickstab Druckkraft N die je nach Randbedingungen die nicht überschreiten darf damit der Stab nicht

Allgemein unterscheidet man

Balkentheorie Erster Ordnung: Es wird näherungsweise unverformten Balken ein Balkenelement betrachtet und die und Momente bilanziert. Sie genügt fast immer.
Balkentheorie Zweiter Ordnung: Es wird am Balken ein Balkenelement betrachtet jedoch wird das Modell linearisiert. Sie wird für Stabilitätsprobleme benötigt für große Durchbiegungen bei Neigungswinkeln bis ca.
Balkentheorie Dritter Ordnung: Es wird am Balken ein Balkenelement betrachtet und das mathematische wird nicht linearisiert. Sie wird in Sonderfällen bei sehr großen Durchbiegungen und Neigungswinkeln über 20°.

Ein Anwendungsfall bei dem Balkentheorie Dritter nötig wird ist z.B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum herunter ist gekrümmt wie ein Seil jedoch Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier

<math>

 EI\ \varphi (s) - H\ \sin\varphi(s) + (ws-V) \cos\varphi(s) 0

</math> Die Koordinate heißt hier nicht x sondern s. Das ist die Bogenlänge der Pipeline. H ist die entlang der konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird beeinflusst wie stark das Fahrzeug mit seinen und dem Tensioner an der Pipeline zieht sie nicht durchsakt und bricht. Der Tensioner eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten die die an Bord einspannt wie die Wurst im Dog und sie unter Zugbelastung hält. w das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. V eine Rechengröße die man sich als kleine vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den <math>\varphi</math> beschrieben der mit der Horizontalkoordinate x(s) der Vertikalkoordinate z(s) in folgendem Zusammenhang steht:

<math>

 \partial x(s)/\partial s = \cos\varphi(s) \quad\quad\quad z(s)/\partial s = \sin\varphi(s)

</math>

Literatur:

Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. 1999
Gummert Reckling: Mechanik. Vieweg 1994

Bücher zum Thema Balkentheorie

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