Banachraum

Ein Banachraum benannt nach dem Mathematiker Stefan Banach ist ein vollständiger normierter Raum .

Ein Banachraum ist also ein Vektorraum V über den reellen oder komplexen Zahlen mit einer Norm und einer diese Norm induzierten Metrik bezüglich derer jede Cauchy-Folge aus Elementen von V gegen ein Element von V konvergiert.

Banachräume gehören zu den zentralen Studienobjekten Funktionalanalysis . Die interessantesten Banachräume sind unendlich-dimensionale Funktionenräume .

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele 2 Lineare Operatoren 3 Ableitungen 4 Dualer Raum 5 Einordung in die Hierarchie mathematischer Strukturen 5.1 Literatur

Beispiele

Im Folgenden sei K einer der Körper R oder C .

• Die Euklidischen und unitären Räume K ⁿ mit der Norm <math>||x|| = \sqrt{\sum

• Der Raum aller stetigen Funktionen

• • Dieses Beispiel kann auf den Raum C( X ) aller stetiger Funktionen

• Sei <math>p \ge 1</math> eine reelle Zahl kann man den Raum aller endlichen Folgen (<math>x_1 x_2 x_3 \ldots</math>) mit Elementen <math>\mathbb{K}</math> betrachten so dass die unendliche Reihe ∑ | x _i | ^p konvergiert. Diee p -te Wurzel des Wertes dieser Reihe sei definiert als die p -Norm der Folge. Der Raum zusammen mit Norm ist ein Banachraum; er wird bezeichnet l ^p .
• Der Banachraum l ^∞ besteht aus allen beschränkten Folgen mit aus '<math>\mathbb{K}</math> die Norm solch einer Folge definiert als das Supremum der Absolutbeträge der Elemente der Folge.
• Wiederum falls <math>p \ge 1</math> eine reelle ist kann man alle Funktionen f : [ a b ] -> <math>\mathbb{K}</math> betrachten wobei | f | ^p Lebesgue-integrierbar ist. Die p -te Wurzel aus diesem Integral sei dann Norm von f . An sich ist dieser Raum noch Banachraum denn es gibt Funktionen die nicht sind ihre Norm jedoch wohl. Man definiert Äquivalenzrelation wie folgt: f und g sind äquivalent genau dann wenn die von f - g Null ist. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet dann einen Banachraum; er wird mit L ^p [ a b ]. Es ist entscheidend hier das Lebesgue-Integral verwenden und nicht das Riemann-Integral denn das würde keinen vollständigen Raum ergeben.

Lineare Operatoren

Sind <math>V</math> und <math>W</math> Banachräume über Körper <math>\mathbb{K}</math> so wird die Menge aller <math>\mathbb{K}</math>- linearen Abbildungen <math>A: V \rightarrow W</math> mit <math>L(V bezeichnet.

Man bemerke dass in unendlich-dimensionalen Räumen alle linearen Abbildungen notwendigerweise stetig sind. L( V W ) ist ein Vektorraum und indem man Norm || A || = sup { || Ax || : x in V mit || x || ≤ 1 } definiert kann er einen Banachraum verwandelt werden.

Der Raum L( V ) = L( V V ) bildet sogar eine unitäre Banach-Algebra; die ist gegeben durch die Komposition linearer Abbildungen.

Ableitungen

Es ist möglich die Ableitung einer Funktion f : V -> W zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv man dass falls x ein Element von V ist die Ableitung von f im Punkt x eine stetige lineare Abblidung ist die f nahe x approximiert.

Formell gesprochen nennt man f differenzierbar in x falls eine stetige lineare Abbildung A : V -> W existiert so dass

lim _{h -> 0} || f ( x + h ) - f ( x ) - A ( h )|| / || h ||    =     0

Dieser Begriff der Ableitung ist eine der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen '<math>\mathbb{R} \rightarrow da die linearen Abbildungen von <math>\mathbb{R}</math> auf einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls <math>f</math> differenzierbar ist in jedem x aus V dann ist D f : V -> L( V W ) eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im keine lineare Abbildung!) und kann möglicherweise erneut werden wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n -te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung <math>V_n W</math> gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im Sinne: sind f und g zwei Abbildungen V - W die in x differenzierbar sind und r und s sind Skalare aus <math>\mathbb{K}</math> dann ist rf + sg differenzierbar in x mit D( rf + sg )( x ) = r D( f )( x ) + s D( g )( x ).

Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig: f : V -> W differenzierbar ist in x aus V und g : W -> X differenzierbar ist in f ( x ) dann ist die Komposition g o f differenzierbar in x und die Ableitung ist die Komposition Ableitungen:

D( g o f )( x ) = D( g )( f ( x )) o D( f )( x )

Dualer Raum

Ist <math>V</math> ein Banachraum und <math>\mathbb{K}</math> zugrundeliegende Körper dann ist <math>\mathbb{K}</math> selbst ebenfalls ein (mit dem Absolutbetrag als Norm) und man kann den dualen Raum definieren durch <math>V = L(V \mathbb{K})</math>. ist wiederum ein Banachraum. Er kann verwendet um eine neue Topologie auf <math>V</math> zu definieren: die schwache

Es gibt eine natürliche Abbildung <math>F</math> <math>V</math> auf V'' definiert durch

F ( x )( f ) = f ( x )

Einordung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum aber nicht umgekehrt.

Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren <math>\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> oder der Raum aller auf <math>\mathbb{R}</math> sind zwar vollständig aber keine Vektorräume und daher keine Banachräume. In Fréchet-Räumen man noch eine vollständige Metrik während LF-Räume vollständige uniforme Vektorräume sind als Grenzwerte von Fréchet-Räumen auftauchen.

Literatur

• Stefan Banach : Théorie des opérations linéaires . -- Warzawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901

Bücher zum Thema Banachraum

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