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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDienstag, 2. September 2014 

Basis (Vektorraum)


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Eine Basis eines Vektorraums <math>V</math> ist eine durch folgende gleichwertige charakterisierte Teilmenge <math>B</math>:

  1. Jedes Element von <math>V</math> lässt sich Linearkombination von <math>B</math> darstellen und diese Darstellung eindeutig.
  2. <math>B</math> ist ein minimales Erzeugendensystem von
  3. <math>B</math> ist ein maximales linear unabhängiges System in <math>V</math>.
  4. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren .

Eine Linearkombination aus <math>B</math> ist eine endliche Summe skalarer Vielfache von Elementen aus Also: Sind <math>b_1 ... b_n</math> aus <math>B</math> <math>a_1 ... a_n</math> Skalaren dann ist <math>a_1 + ... + a_n b_n</math> eine Linearkombination.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums <math>V</math> ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft dass jeder Vektor von sich als Linearkombination aus <math>E</math> darstellen lässt.

Eine Teilmenge <math>B</math> des Vektorraums <math>V</math> linear unabhängig wenn die Darstellung des Nullvektors als von <math>B</math> eindeutig ist wenn also gilt: <math>a_1 b_1 + ... + a_n b_n 0</math> eine Darstellung des Nullvektors dann folgt alle <math>a_i=0</math> sein müssen.

Die Anzahl der Elemente einer Basis man die Dimension des Vektorraums.

Die Skalare die in der Darstellung eines Vektors auftreten nennt man die Koordinaten des Vektors zusammen bilden sie ihrerseits Koordinatenvektor (der allerdings in einem anderen Vektorraum dem Koordinatenraum ).

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen dass jeder Vektorraum Basis haben muss auch wenn man sie nicht explizit angeben kann. (Verwendet man allerdings Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen dann kann es ohne Basis geben.)

Beispiele

  • In der Euklidischen Ebene R 2 hat man die so genannte kanonische Einheitsbasis <math>\{(1 0) (0 1)\}</math>. In dieser bilden je zwei Vektoren eine Basis wenn nicht dieselbe Richtung haben.

  • Als R -Vektorraum hat C die Basis <math>\{1 i\}</math>.

  • Als Q -Vektorraum hat R eine Basis die man aber nicht angeben kann.

<math>\{1 X X^2 X^3 ...\}=\{X^i|i\in\N_0\}</math>

  • Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System keine Basis denn z.B. die Folge <math>(1 1 ...)</math> wird nicht davon erzeugt:

<math>\{ (1 0 0 0 ...) (0 0 0 ...) (0 0 1 0 ... \}</math>

Orthonormalbasis

Beim Studium von Hilberträumen gibt es eine andere zweckmäßigere Art Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren und es werden nicht nur endliche auch unendliche Summen der Basisvektoren zugelassen. Eine Orthonormalbasis ist in einem unendlichdimensionalen Raum keine im hier definierten Sinne. Der hier beschriebene wird zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt.



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