Bayes-Theorem

Das Bayes-Theorem (oder auch Satz von Bayes ) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes . Es gibt an wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet und lautet:

<math>P(A|B) = \frac {P(B | A) P(A)}

Hierbei ist <math>P(A)</math> die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math>A</math> und <math>P(B|A)</math> die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math>B</math> unter der dass <math>A</math> auftritt. Die Korrektheit des Satzes unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit .

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit: Falls <math>\{A_i \ldots N\}</math> ein totales Ereignissystem ist mit Teilmenge <math>B</math> gilt:

 <math> P(A_i | B) = \frac{P(B A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{\sum_{i=1}^{N} P(B | A_i) \cdot P(A_i)} </math> 

Inhaltsverzeichnis

1 Interpretation 2 Anwendungsgebiete 3 Rechenbeispiel 3.1 Lösung mit dem Satz von Bayes 3.2 Lösung mit dem Entscheidungsbaum 4 Verständnisprobleme des Bayes-Theorems 5 Weblinks

Interpretation

Die Berechnung von <math>P(Ereignis|Ursache)</math> ist häufig aber oft ist eigentlich <math>P(Ursache|Ereignis)</math> gesucht also Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können Entscheidungsbaum und die A-Priori-Wahrscheinlichkeit helfen.

Anwendungsgebiete

• Medizin: von einem positiven medizinischen Testergebnis (Ereignis) auf das Vorhandensein einer Krankheit (Ursache) geschlosssen.
• Informatik: Von charakteristischen Wörtern in einer E-Mail wird auf die Eigenschaft "Spam" zu sein geschlossen.

Rechenbeispiel

In einem medizinischen Beispiel sei das <math>A</math> dass ein Patient eine schwere seltene Krankheit hat ( Grundanteil ). <math>B</math> bezeichne die Tatsache dass der positiv auf die Krankheit getestet worden ist. Hersteller des Tests versichert dass der Test Krankheit zu 99.9% erkennt (<math>P(B|A) = 0.999</math>) nur in 1% der Fälle falsch anschlägt (<math>P(B|\neg A)=0.01</math>). Die Frage ist: ein positiv getesteter Patient wie wahrscheinlich ist an der seltenen Krankheit erkrankt?

Die Aufgabe kann entweder

• durch Einsetzen in die Formel oder
• durch einen Entscheidungsbaum (nur bei diskreten Wahrscheinlichkeiten)

Lösung mit dem Satz von Bayes

<math> P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|\neg A)P(\neg A) P(B|A)P(A)}

 =\frac{0.999 \cdot 0.0002}{0.01 \cdot 0.9998 + \cdot 0.0002}  

d.h. der Patient hat eine Chance <math>98%</math> gesund zu sein obwohl der Test als krank einschätzte.

Lösung mit dem Entscheidungsbaum

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen lassen sich übersichtlich im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben werden einfach Das Diagramm "rechnet mit".

 10 000 / \ / \ \ 2(krank) 9 998 (gesund) /\ /\ \ / \ / \ / \ \ / \ Test- 0  2   100  9898 ergebnis - + + -  

Ergebnis: 2+100= 102 haben ein positives Ergebnis obwohl 100 (= falsch positiv ) von ihnen gesund sind. Diese Angaben hier in der absoluten Häufigkeit .

Verständnisprobleme des Bayes-Theorems

Die gleichen Informationen die vielen schwer sind können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständnisprobleme im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten sind [1] :

1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des Ereignisses (z.B. beim " Ziegenproblem ")
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis bedingte Wahrscheinlichkeiten zu komplizierte Formulierung u.ä.

Weblinks

• Rudolf Sponsel: Das Bayes'sche Theorem
• Der Bayessche Satz der Wahrscheinlichkeit
• Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
• Christoph Wassner Stefan Krauss Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)

Bücher zum Thema Bayes-Theorem

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