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Bedingte Wahrscheinlichkeit


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Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung dass ein Ereignis B bereits vorher eingetreten ist. Es wird als <math>P(A|B)</math> der senkrechte Strich ist als der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt verstehen: Wenn man das Ereignis B voraussetzt ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignes A <math>P(A|B)</math>. Es handelt sich also nicht eine (logische) Bedingung für A .

Zwei Variablen

Wenn A und B abhängige Ereignisse sind und P ( B ) > 0 ist dann

 <math>P(A|B) = \frac {P(A \cap B)}  

Es ist:

<math>P(A \cap B)</math>

die Verbundwahrscheinlichkeit d.h. die Wahrscheinlichkeit dass A und B gemeinsam auftreten. Die Verbundwahrscheinlichkeit wird teilweise einfach P ( A ; B ) geschrieben. Es gilt durch Umformen natürlich

 <math>P(A \cap B) = {P(A | {P(B)}</math>  

Wenn A und B jedoch un abhängig sind dann gilt

 <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot \Rightarrow P(A|B) = P(A)</math>  

n Variablen

Man betrachte dazu den multivariaten Fall mehr als zwei Zufallsereignissen:

 <math>P(X_1; X_2; ... ; X_n)</math>  

Verallgemeinert man den obigen Ausdruck für Variablen erhält man:

 <math>P(X_1; X_2; ... ; X_n) = P(X_2|X_1) P(X_3|X_2;X_1)...P(X_n|X_{n-1};...;X_1) = P(X_1) \frac{P(X1;X2)}{P(X_1)}...\frac{P(X_n;...;X_1)}{P(X_{n-1};...;P(X_1))}</math>  

Besonders anschaulich ist hier das Rechnen einem Entscheidungsbaum da hier das Diagramm gleichsam "mitrechnet": Daten sind leicht einzusetzen und man wird an den richtigen Rechengang heran geführt.

Beispiele findet man im Artikel Bayes-Theorem .

Siehe auch: Irrtumswahrscheinlichkeit Fehler 1. und 2. Art Verbundentropie Kausalbeziehung Schnittmenge DNA-Test Zahlenanalphabetismus Sensitivität Falsch positiv Positiver prädiktiver Wert Bayessches Netzwerk

Weblinks



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