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Bellsche Ungleichung


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Die Bell'sche Ungleichung oder das Bell'sche Theorem zeigt einen Weg zur Beantwortung der das EPR-Paradoxon aufgeworfenen Fragen nach der Gültigkeit der der Quantenmechanik als Ganzes und im speziellen Rolle der Lokalität bei quantenmechanischen Phänomenen. Sie 1964 von John Stewart Bell entwickelt.

Inhaltsverzeichnis

Bell'sche Ungleichung

Übersicht

Gestützt auf bestimmte Annahmen bezüglich der Welt insbesondere

  1. Lokalität
  2. Realismus
  3. gemeinsame Messbarkeit
und andere weniger offensichtliche Annahmen

kann eine mathematische Beziehung (genauer eine aufgestellt werden die die Ergebnisse von Messungen mikroskopischer Ebene beschreibt. Weil verschiedene Experimente diese verletzen wird oft gefolgert dass diese Annahmen besonderen Lokalität und Realismus unvereinbar sind und einer konsistenten Theorie nicht beide erfüllt sein

Im Folgenden soll das von David und Eugene Wigner entwickelte EPR-Szenario vereinfacht dargestellt werden.

Herleitung der Ungleichung

Gegeben seien drei beliebige Richtungen a b und c in denen Alice und Bob den Spin der Elektronen messen die sie empfangen. Man setze verborgene Variablen für die drei Spinrichtungen pro voraus. Zudem sollen diese verborgenen Variablen jedem auf konsistente Weise zugeteilt werden und nach Emittierung sich nicht ändern. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen Variablen sei nichts vorausgesetzt.

Alice und Bob sind zwei räumlich Beobachter. Zwischen ihnen produziert ein Apparat kontinuierlich Eines dieser Elektronen wird in Richtung von geschossen das andere in Richtung von Bob.

Die Elektronenpaare sind so vorbereitet dass Beobachter bei der Messung des Spins ihres an derselben Achse stets entgegengesetzte Ergebnisse erhalten. sie zum Beispiel beide die z-Komponente der messen wird Alice nach den Regeln der mit gleicher Wahrscheinlichkeit +1/2 oder -1/2 messen. Alice +1/2 misst wird Bob zwangsläufig -1/2 und umgekehrt.

Mathematisch kann der Zustand des zusammengesetzten je zweier Elektronen durch folgenden Zustandsvektor beschrieben

<math>\left| \psi \right\rangle = {1\over\sqrt{2}} \left( \left|z+\right\rangle_A -
\left|z-\right\rangle_A \left|z+\right\rangle_B \right)</math>.

Jedes Ket ist mit der Richtung des Elektronenspins Der oben angeführte Zustand wird als Spin-Singlet bezeichnet. Die z-Komponente des Spins entspricht Operator (1/2)σ z wobei σ z die dritte Pauli-Matrix ist.

Verborgene Variablen

Für dieses Phänomen gibt es eine ohne Zuhilfenahme der Quantenmechanik. Man nehme an die Elektronen produzierende Apparat würde jedem Elektron Parameter eine verborgene Variable zuteilen je einem die Bezeichnug "Spin dem anderen "Spin -1/2". Ein klassischer Wahrscheinlichkeitsprozess welches Elektron zu Alice entsendet werden soll. Alice jetzt die z-Komponente des Spins als misst wird Bob -1/2 erhalten schließlich trägt Elektron diese Bezeichnung. Hierdurch werden die quantenmechanischen reproduziert ohne das Prinzip der Lokalität zu

Der Charme dieses Erklärungsmusters verblasst mit Erkenntnis dass Alice und Bob nicht nur z-Komponente des Spins messen können. Tatsächlich können die Komponente in einer beliebigen Richtung messen erhalten immer +1/2 oder -1/2. Es müsste jedes Elektron eine unendliche Anzahl verborgener Variablen je eine für jede mögliche Messung .

Das wäre zwar nicht schön aber sich nicht fatal. Bell zeigte jedoch dass und Bob durch die Auswahl von nur Messungsrichtungen zwischen verborgenen Variablen und Quantenmechanik unterscheiden

 a b c a b c + + + - - - N 1  + + - - - + 2  + - + - + - 3  + - - - + + 4  - + + + - - 5  - + - + - + 6  - - + + + - 7  - - - + + + 8   

Jede Reihe beschreibt eine mögliche Form Elektronenpaars mit den Werten der verborgenen Variablen der Wahrscheinlichkeit N. Alice messe den Spin Richtung a und Bob in Richtung b . Die Wahrscheinlichkeit dass Alice +1/2 und -1/2 erhält ist gegeben durch

P(a+ b+) = N 3 + N 4 .

Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit dass beide messen wenn Alice in Richtung a und Bob in Richtung c misst gegeben durch

P(a+ c+) = N 2 + N 4 .

Wenn Alice in Richtung c und Bob in Richtung b misst ist die Wahrscheinlichkeit dass beide messen

P(c+ b+) = N 3 + N 7 .

Weil die Wahrscheinlichkeiten N nie negativ gilt:

N 3 + N 4 <= N 3 + N 4 + N 2 + N 7

Daraus folgt

P(a+ b+) <= P(a+ c+) + P(c+

die Bell'sche Ungleichung . Sie muss bei jeder auf verborgenen beruhenden Theorie erfüllt werden die unsere Annahmen der Lokalität befriedigt.

Jetzt soll gezeigt werden dass die die Ungleichung verletzt.

Vergleich mit der Quantenmechanik

Es sollen a b und c auf der x-z Ebene liegen wobei c der Bisektor von a und b im Winkel θ ist. Mit dem können die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.

Man betrachte P(c+ b+) wobei Alice c -Richtung misst und mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 Wert +1/2 erhält. Dadurch kollabiert Bobs Elektron | c - B . Im Zustandsraum von Bobs Elektron kann bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet werden dass Bob bei Messung in Richtung b +1/2 erhält (die Indizes für b weggelassen): Working in the state space of electron and dropping the B subscripts we calculate the conditional probability that Bob then +1/2 when measuring the spin in the b direction:

P(c+ b+) = 1/2 | c +| b - | 2
= 1/2 | c +| D( y θ) | c - | 2
= 1/2 | c +| exp( i θ σ y ) | c - | 2
= 1/2 ( | c +| cos θ | c - | 2 + | c +| i sin θ | c + | 2 )
= 1/2 sin 2 θ

wobei σ y die zweite Pauli-Matrix ist die den D( y θ) liefert. Auf ähnlichem Weg errechnet die anderen Wahrscheinlichkeiten so dass nach Bells gelten würde:

1/2 sin 2 2θ <= 1/2 sin 2 θ + 1/2 sin 2 θ.

Aber diese Gleichung ist für θ π/8 nicht erfüllt:

0.25 <= 0.1464...

Wenn Alice und Bob das Experiment wie oben beschrieben mit im Winkel von zueinander stehenden Achsen ausführen und dann die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten erhalten werden diese Ergebnisse die Ungleichung nicht erfüllen und damit alle vorgeschlagenen verborgenen Variablen basierenden Theorien widerlegen.

Konsequenzen aus der Verletzung der Bell'schen

Es gibt mehrere populäre Reaktionen auf Situation:

Zunächst könnte man einfach annehmen dass Quantenmechanik falsch ist. Sie wird jedoch experimentell Alice und Bob haben tatsächlich Ergebnisse erhalten quantenmechanisch vorhergesagt.

Zweitens kann man die Vorstellung verborgener Variablen aufgeben und argumentieren dass die Wellenfunktion Informationen über die Werte von Messungen an enthält. Das entspricht der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik .

Man könnte auch das Prinzip der aufgeben: Die Verletzung der Ungleichung kann durch auf nicht-lokale verborgene Variablen bauende Theorie erklärt werden der Teilchen Informationen über ihre Zustände austauschen. basiert die Bohm-Interpretation. Eine solche Interpretation wird als unelegant angesehen da alle Teilchen des instantan mit allen anderen Teilchen die Informationen können müssten.

Letztlich ist die unvollständige Bestimmtheit (Counterfactual CFD) eine Voraussetzung für die Ungleichung. In Realität kann man an einem Teilchen nur Messung durchführen (dann ist die Wellenfunktion kollabiert) die Bell'sche Ungleichung bezieht alternative nicht durchführbare ein die wohldefinierte Ergebnisse liefern. Die Aufhebung Annahme kann auch die Ungleichung auflösen. In Viele-Welten-Interpretation passiert genau das die "Counterfactual Definiteness" aufgegeben denn nach dieser Interpretation verzeigt sich Universum in viele verschieden Betrachter die jeweils anderes Ergebnis erhalten.

Es wird aktiv daran geforscht (Stand andere versteckte Voraussetzungen in der Bell'schen Ungleichung finden.

Gedankenexperimente

Die CHSH-Ungleichung ( 1969 von Clauser Horne Shimony und Holt verallgemeinert die Bell'sche Ungleichung auf beliebige Observablen . Sie lässt sich wegen ihrer Formulierung experimentell überprüfen.

Bells Gedankenexperiment ist statistisch : Alice und Bob müssen mehrere Experimente um P(a+ b+) und die anderen Wahrscheinlichkeiten erhalten. 1989 entwarfen Greenberger Horne und Zeilinger eine zu Bells Versuchsaufbau das GHZ-Experiment. Es braucht Beobachter und drei Elektronen um mit einer Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von verborgenen zu unterscheiden.

1993 erarbeitete Hardy eine Situation mit der ohne Ungleichungen gezeigt werden kann.

Experimentelle Bestätigung

Seit dem Experiment von Kocher und 1967 wurden zahlreiche Experimente durchgeführt um die genannten Resultate zu bestätigen. Tatsächlich wurde die der Bell'schen Ungleichung gezeigt in einem Fall mit einer Standardabweichung von 30 und mehr.

Experimente überprüfen meistens die CHSH-Verallgemeinerung und andere Observablen als den Spin der in Praxis nicht leicht gemessen werden kann meistens Polarisation von Photonenpaaren aus radioaktivem Zerfall. Das ist aber dem geschilderten vereinfachten Modell sehr

1998 zeigten Weihs Jennewein et al. von der Universität Innsbruck als erste die Verletzung der Ungleichung räumlich derart getrennte (400m) Messpunkte dass - bedingt durch den Versuchsaufbau - Informationsaustausch über Messergebnis zwischen den Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit nicht ist.

Literatur

  • Hardy L.: Nonlocality for 2 particles without inequalities for all entangled states . Physical Review Letters 71: (11) pp. (1993)
  • Sakurai J.J.: Modern Quantum Mechanics . Addison-Wesley USA 1994 pp. 174-187 223-232
  • A. Aspect: Bell's inequality test: more ideal than ever . Nature vol 398 18 March 1999. http://www-ece.rice.edu/~kono/ELEC565/Aspect_Nature.pdf




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