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Bernoullische Energiegleichung


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Die Bernoullische Energiegleichung oder der Satz von Bernoulli besagt dass bei der stationären (zeitlich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit nur der Schwerkraft unterworfen ist für alle einer Stromlinie gilt dass die Summe aus

Geschwindigkeitshöhe :
<math> {{v^2} \over {2 g}} </math>

Druckhöhe:
<math> {p \over {\rho g}}</math>

und geodätischen Höhe:
<math>z</math>

v ..... Geschwindigkeit
g ..... Erdbeschleunigung
P ..... Druck
<math>\rho</math> ..... Dichte
z ..... Höhe über/unter einer Bezugsebene gleicher geodätischer Höhe

konstant ist. Diese Summe wird als Energiehöhe bezeichnet und zumeist in Meter angegeben. Geschwindigkeitshöhe kann als Staudruck der Strömung verstanden werden die Druckhöhe Maß des Druckes der Flüssigkeit.

Aus der Bernoullischen Energiegleichung ist ersichtlich zum Beispiel eine Geschwindigkeitserhöhung in einer Rohrleitung durch Einengung des Querschnittes zu einer des Druckes führen muss wenn die geodätische gleich bleibt.


Schema des Druckverlaufs
in einer Rohrleitung




Die erweiterte Bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe h v wird empirisch meist durch einen Verlustbeiwert mit folgender Funktion berechnet:

<math> H_v = \zeta {{v^2} \over g}} </math>

<math>\zeta</math> .... Verlustbeiwert
v .... Geschwindigkeit
g .... Erdbeschleunigung

Diese Annahme fußt auf der empirischen dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in Gesamtsystem setzen sich aus

  • Einzelverlusten wie Ein- und Auslaufverlust Einbautenverlust Einengungen Schieber) und
  • Verlusten aus der Rohhreibung
zusammen.

Die erweitere Energiegleichung lautet daher:

<math> {{v^2} \over {2 g}} +
 {p \over {\rho g}} +  
z + \zeta {{v^2} \over {2 = \mathrm {konstant} = H_0 </math>

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für den Berechnung der Energieverluste wäre Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu

Einzelverluste :

Diese werden nach der Formel

<math> H_v = \zeta {{v^2} \over g}} </math>

berechnet. Diese Werte für <math>\zeta</math> betragen

Einläufe in Rohrleitungen:
<math>\zeta</math> = 0 50 (senkrechter Einlauf
<math>\zeta</math> = 0 06 bis 0 (senkrechter abgerundeter Einlauf)

oder bei plötzlicher Querschnitterweiterung:
<math>\zeta</math> = (F 2 /F 1 -1) 2

oder bei allmählicher Verengung (Winkel der < 20°):
<math>\zeta</math> = 0 04

Verluste in geraden Rohrleitungen

Diese werden nach der Formel

<math> I = \lambda {{v^2} \over g d}} </math>

I .... Energieliniengefälle das heißt Verlusthöhe Längenheit der Rohrleitung.
<math>\lambda</math> .... Verlustbeiwert
d .... Rohrdurchmesser

berechnet. Der Parameter &zeta wird nach Formeln bestimmt die von der Rauhigkeit der und dem Fließverhalten des Mediums abhängen.

Bei laminarer Strömung wird &lambda berechnet als

<math> \lambda = {{64} \over {Re}}

Re .... die Reynoldsche Zahl (siehe laminare Strömung ).

Die Verluste entwickeln sich lediglich proportional Geschwindigkeit des Abflusses.

Bei turbulenter Strömung ist zu unterscheiden:

  • Hydraulisch glattes Rohr das heißt die Unebenheiten der Wand Rohres sind zur Gänze von einer laminaren Grenzschicht umhüllt. Der Wert von <math>\lambda</math> errechnet mit der Formel von PRANDTL:
    <math>{{1} \over {\sqrt {\lambda}}}=2 log \left( Re {\lambda}} \right)</math>
  • Hydraulisch rauhem Rohr das heißt die Unebenheiten der Wand Rohres werden nicht mehr von einer laminaren Grenzschicht umhüllt. Der Wert von <math>\lambda</math> errechnet mit der Formel von COLEBROOK:
    <math>{{1} \over {\sqrt {\lambda}}}= 2 log \left( 71 d} \over {k}} \right)</math>

    d .... Rohrdurchmesser
    k .... absolute Rauhigkeit [mm]
  • Übergangsbereich zwischen den vorstehend angeführten Zuständen. Hier nach COLEBROOK:
    <math>{{1} \over {\sqrt {\lambda}}} = -2 log {{2 51} \over {Re \sqrt {\lambda}}} + \over {3 71 d}} \right)</math>


    Die Grenze zwischen Übergangs- und rauhem Bereich nach MOODY bei
    <math> Re \sqrt {\lambda} \ {k \over = 200</math>

Die so genannten absoluten Rauhigkeitsbeiwerte k z.Bsp. 1 0 mm für gerade Kanalstrecken 0 1 mm für Reinwasser-Druckrohrleitungen.

Die Verlustbeiwerte können berechnet oder Tabellen Diagrammen entnommen werden.

In Entsprechung der Berechnung der Verlustbeiwerte vollgefüllte Rohre können diese auch für teilgefüllte bzw. beliebige Gerinnequerschnitte ermittelt werden. Dabei wird der Berechnung statt des Rohrdurchmessers d der genannte hydraulische Radius :

<math> R = {{F} \over {U}}

R .... hydraulischer Radius
F .... Querschnittsfläche
U .... Benetzter Umfang

verwendet. Die Anwendung dieses Verfahrens für Berechnung des Abflusses in offenen Gerinnen hat bisher nicht durchgesetzt und findet nur zur des Abflusses in Kanalrohren Anwendung. Zur Berechnung des Abflusses in Gerinnen wird zumeist immer noch auf die gewonnenen Funktion nach STRICKLER (im englischen Sprachraum zurückgegriffen nach der die Geschwindigkeit des Abflusses folgt berechnet werden kann:

<math> v = k_{st} * R^{{2} {3}} + I ^ {{1} \over {2}}

k st .... Abflussbeiwert nach Strickler
R .... hydraulischer Radius
I .... Gefälle

Der Strickler-Beiwert k st ist in Abhängigkeit von der Oberflächenbeschaffenheit wählen und ändert sich grundsätzlich auch mit Abflusstiefe.

Typische k st wären:
20 bis 40 für natürliche Gerinne
45 bis 50 Bruchsteine alter Beton
50 bis 60 Beton
80 bis .. Glatter Beton
90 bis .. Glatte Holzgerinne

Es hat sich gezeigt das in Vergangenheit durchgeführte Gerinneberechnungen mitunter zu optimistische Beiwerte haben und bei Prüfung in der Natur geringe Abfluskapazität aufweisen. Dies wird durch aufkommenden zusätzlich verschärft.

Siehe auch: Bernoulli-Gleichung Daniel Bernoulli



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