Beweis (Mathematik)

Hierbei existieren unter anderem drei Methoden denen ein Beweis in der Mathematik durchgeführt kann:

• der direkte Beweis
• der indirekte Beweis bzw. Beweis durch Widerspruch
• sowie die (vollständige) Induktion bzw. "Schluss von n auf n+1"

Inhaltsverzeichnis

1 Der direkte Beweis 2 Der indirekte Beweis 3 Die vollständige Induktion 4 Konstruktiver und nicht-konstruktiver Beweis 5 Siehe auch 6 Weblinks

Der direkte Beweis

Beim direkten Beweis wird die Behauptung Folgerungen Ausrechnen ... bewiesen.

Einige einfache Beispiele:

Satz 1
Behauptung: S(n) = 1 + 2 + + ... + n = n*(n+1)/2

Beweis: Wir schreiben die Summe zweimal untereinander addieren spaltenweise:

 S(n) = 1 + 2 + + (n-1) + n S(n) = n (n-1) + ... + 2 + 1 S(n) + S(n) = (n+1) + (n+1) ... + (n+1) + (n+1)  

 Daraus folgt: 2 * S(n) = * (n+1) Dividiert man beide Seiten durch erhält man die Behauptung.  

Zu diesem Beweis gibt es eine Eines Tages hatte der Mathematiklehrer von Carl Friedrich Gauß keine Lust Unterricht zu halten. Daher er den Schülern die Aufgabe die Zahlen 1 bis 100 zusammenzuzählen. Kaum hatte es der Lehrer gemütlich gemacht und die Zeitung da meldete sich der 7-jährige Gauss und das Ergebnis vor. Gauss hatte das Ergebnis der obigen Methode errechnet.

Satz 2
Behauptung: Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl ist gerade.

Beweis: Sei n eine gerade natürliche Zahl. lässt sich n eindeutig darstellen als n 2k wobei k eine natürliche Zahl ist. folgt: <math>n^2 = (2k)^2 = 4k^2</math>. <math>n^2</math> daher durch 4 teilbar also gerade.

Satz 3
Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade.

Beweis: Sei n eine ungerade natürliche Zahl. lässt sich n eindeutig darstellen als n 2k + 1 wobei k eine natürliche ist. Daraus folgt mit Hilfe der 1. binomischen Formel : <math>n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1</math>. Die ersten Summanden sind gerade. Also ist <math>n^2</math>

Der indirekte Beweis

Beim indirekten Beweis nimmt man an das Gegenteil der Behauptung wahr ist. Danach man diese Aussage mit den gleichen Methoden beim direkten Beweis zum Widerspruch.

Ein klassisches Beispiel hierfür ist der dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Wir zeigen einige weitere Beispiele.

Satz 4
Behauptung: Die Wurzel aus einer geraden natürlichen n ist gerade.

Beweis: Wir nehmen an <math>\sqrt{n} = k</math> ungerade. Dann ist wegen Satz 3 <math>k^2 n</math> auch ungerade - ein Widerspruch.

Satz 5
Behauptung: Die Wurzel aus einer ungeraden natürlichen n ist ungerade.

Beweis: Wir nehmen an <math>\sqrt{n} = k</math> gerade. Dann ist wegen Satz 2 <math>k^2 n</math> auch gerade - ein Widerspruch.

Satz 6
Behauptung: Die Zahl <math>\sqrt{2}</math> ist irrational .

Beweis: Wir nehmen an <math>\sqrt{2}</math> sei rational. kann man <math>\sqrt{2}</math> darstellen als Bruch

 <math>\sqrt{2}</math> = n / k  

 <math>k^2 = \frac{n^2}{2} = 2 \cdot  

Die vollständige Induktion

Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein beliebtes Verfahren zum Beweisen Aussagen die auf allen natürlichen Zahlen definiert sind (Die Methode lässt sich auch für andere Mengen verallgemeinern). Man zeigt zuerst dass die für n =0 gilt und danach dass sie auch n +1 gilt wenn sie für n gilt. Die vollständige Induktion lässt sich einem Dominoeffekt vergleichen. Man stellt die Steine auf dass wenn einer umfällt auch der umfällt ( n → n +1) und stößt den ersten Stein um n =0).

Ein einfaches Beispiel:

Satz 7
Behauptung : A ( n ): 1 + 3 + ... + = (n+1)²

Beweis :

1. A (0): 1 = 1 eine wahre Aussage.
2. Die Behauptung sei für ein beliebiges n gültig. Für n + 1 erhalten wir
   A ( n +1): 1 + 3 + ... + n +1) + (2 n +3) = (( n +1) + 1)²
   Da die Behauptung für n gültig ist folgt
   1 + 3 + ... + n +1) + (2 n +3) = ( n +1)² + (2 n +3) = ( n +2)² = (( n +1) + 1)²

Somit die die Behauptung bewiesen.

Natürlich braucht man nicht unbedingt mit n =0 anzufangen; wenn man z. B. eine beweisen will die für alle n <math>\geq</math>5 gilt (wie beispielsweise die Ungleichung <math>2^{n}>n^{2}</math>) fängt man am besten mit n =5 an.

Eine Verallgemeinerung der Induktion auf natürlichen ist die transfinite Induktion die z. B. auf Ordinalzahlen durchführbar ist.

Konstruktiver und nicht-konstruktiver Beweis

Beim Beweis von Existenz-Sätzen unterscheidet man einem konstruktiven Beweis und einem nicht-konstruktiven Beweis.

Bei einem konstruktiven Beweis wird entweder die Lösung selbst genannt ein Verfahren angegeben das zur Lösung führt: wird eine Lösung konstruiert .

Bei einem nicht-konstruktiven Beweis wird anhand von Eigenschaften auf die einer Lösung geschlossen. Manchmal wird sogar indirekt Annahme es gäbe keine Lösung zum Widerspruch woraus folgt daß es eine Lösung gibt. solchen Beweisen geht nicht hervor wie man Lösung gewinnt.

Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen.

Behauptung : Die Funktion f(x) = 2x - besitzt im Intervall [0 1] eine Nullstelle ₀ .

Konstruktiver Beweis : Sei x ₀ = 0 5. Dann gilt: f(x ₀ ) = 2·x ₀ - 1 = 2·0 5 - = 1 - 1 = 0. Ferner x ₀ = 0 5 im Intervall [0 Damit ist die Behauptung bewiesen.

Nicht-konstruktiver Beweis : f(x) ist stetig. Ferner ist f(0) -1 < 0 und f(1) = 1 0. Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen folgt die Behauptung.

Siehe auch

Weblinks

• zeit.de -zur Problematik eines Beweises mit Computer

Bücher zum Thema Beweis (Mathematik)

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