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Bijektivität


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Bijektivität ( bijektiv oder umkehrbar eindeutig ) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion . Die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge der Wertemenge sind gleich gross (mit Hilfe Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert). Eine bijektive Funktion hat eine Umkehrfunktion .

Definition

Sei <math>f</math> eine Funktion von <math>X</math> <math>Y</math>. <math>f : X \to Y</math>

<math>f</math> ist bijektiv wenn für alle <math>y \in Y</math> genau ein <math>x \in X</math> mit <math>f(x) = existiert.
( genau eins bedeutet eins und nur eins )

alternativ :

<math>f</math> ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform


Mengenkastendarstellung.


Mengenkastendarstellung.


Mengenwolkendarstellung.
 

Beispiele und Gegenbeispiele

Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.

Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen in sich selbst die nicht injektiv sind. Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben.

Ein konkretes Beispiel (die Abbildung <math>f(x)=x^2</math> verschiedenen Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität .

Vergleich

Injektivität Surjektivität



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