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Binärsystem


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Das Binärsystem ist das bekannteste und verbreitetste duale ( Stellenwertsystem ) zur Darstellung von Zahlen . Es verwendet die Basis 2 ist also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen. In diesem gibt es nur zwei Ziffern die im Binärsystem mit 0 und 1 in anderen dualen Systemen mit anderen (zum Beispiel mit L und H) gekennzeichnet Zahlen die im Binärsystem dargestellt sind nennt Binärzahlen .

Inhaltsverzeichnis

Definition

Mathematische Darstellung des Binärsystems :
<math> b_m b_{m-1} \cdots b_0 b_{-1} \cdots b_{-n} = \sum_{i=-n}^m b_i \cdot 2^i m n\in\mathbb{N}\quad b_i\in\{0;1\}</math>

Darstellung von Binärzahlen

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem mit dem Unterschied dass die Wertigkeit Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz sondern die passende Zweierpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt Folge 1101 nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins sondern die Dreizehn denn im Binärsystem berechnet der Wert durch:

<math> [1101]_2 = 1 \cdot 2^3 + \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + \cdot 2^0 = [13]_{10} </math>

und nicht wie im Dezimalsystem durch:

<math> 1 \cdot 10^3 + 1 \cdot + 0 \cdot 10^1 + 1 \cdot = [1101]_{10}. </math>

Die Klammerung der Resultate mit der 10 soll darauf hinweisen dass die Resultate gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind. Eine ausführliche und Erläuterung findet sich im Artikel Stellenwertsystem .

Anwendung

Die Möglichkeit Zahlen in binärer Form wurde wohl zuerst von Leibniz dokumentiert. Leibniz selbst schrieb zu seiner

Um Alles aus Nichts zu erzeugen reicht
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum.

Leibniz war auch der Erste der Rechenmaschinen auf Basis des Binärsystems baute.

Das Binärsystem ist besonders wichtig in Digitaltechnik da die Ziffern der Binärzahlen leicht komplementäre Zustände wie Strom an / Strom aus oder Spannung / Masse symbolisiert werden können. Auf diese Weise sehr fehlerresistente Schaltungen möglich. Beispielsweise lässt sich einer Schaltung Masse als 0 und 5V Masse als 1 annehmen. Sinkt nun die im Schaltkreis auf 4.5V ab so kann dies noch zuverlässig als 1 gedeutet werden. Wären z.B. alle zehn Ziffern des Dezimalsystems als codiert so wäre dies bereits eine falsche

Grundrechenarten im Binärsystem

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Binärzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition Subtraktion Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen einfacher und lassen sich effizient mit logischen elektronisch realisieren. Die Einführung von Binärzahlen in Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.

Addition Beispiel
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
<math> \begin{matrix} \quad\;1011_{(2)}\\ +\quad\;11_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;1110_{(2)}
Substraktion Beispiel
0 - 0 = 0
0 - 1 = -1
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
<math> \begin{matrix} \quad\;1011_{(2)}\\ -\quad\;111_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;100_{(2)}
Multiplikation Beispiel
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
<math> \begin{matrix} \quad\;1010_{(2)}\\ {*}\quad\;11_{(2)}\\ \end{matrix} \over 11110_{(2)}
Division Beispiel
0 : 0 = n.def.
0 : 1 = 0
1 : 0 = n.def.
1 : 1 = 1
<math> \begin{matrix} 1010_{(2)}\\ {:}\quad\;10_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;101_{(2)}

Umrechnen von Binärzahlen in andere Stellenwertsysteme

Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil dass Zahlen im Binärsystem im zu Dezimalzahlen relativ lang sind (siehe Tabelle Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt welches die Basis 16 besitzt. 16 eine Potenz von 2 ist ist besonders einfach möglich Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. werden je vier Binärstellen durch eine Hexadezimalstelle was auch die Länge der dargestellten Zahlen den Faktor vier verringert. Andererseits ist die der Hexadezimalzahlen noch klein genug um diese bekannten Symbolen darzustellen. Dazu werden neben den 0-9 in der Regel noch die Großbuchstaben verwendet.

Binärsystem 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Oktalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
Dezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Hexadezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Binärzahl eine Dezimalzahl erhalten zählt man die Zweierpotenzen zusammen bei in der Binärzahl die Ziffer 1 steht.

Beispiel: 1010 (2)

Man rechnet nun von rechts nach

0 · 2 0 = 0
1 · 2 1 = 2
0 · 2 2 = 0
1 · 2 3 = 8

Zusammengezählt ergibt dies 10 im Dezimalsystem.

vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung Binärsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am 41 (10) beschrieben:

41 : 2 = 20 Rest
20 : 2 = 10 Rest
10 : 2 = 5 Rest
5 : 2 = 2 Rest
2 : 2 = 1 Rest
1 : 2 = 0 Rest

Der zu errechnende Wert ist nun von unten nach oben ablesbar: 101001 (2)

Darstellung negativer Zahlen

Wegen der Bedeutung des Dualsystems in Digitaltechnik ist es auch wichtig negative Zahlen darstellen zu können. Für die Darstellung negativer Zahlen im Dualsystem existieren die Verfahren des Vorzeichenbits und des Zweierkomplements .

Weblinks


siehe auch: Zahlensystem Stellenwertsystem Oktalsystem Dezimalsystem Hexadezimalsystem



Bücher zum Thema Binärsystem

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