Binärsystem

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Darstellung von Binärzahlen 3 Anwendung 4 Grundrechenarten im Binärsystem 5 Umrechnen von Binärzahlen in andere Stellenwertsysteme 5.1 vom Binärsystem ins Dezimalsystem 5.2 vom Dezimalsystem ins Binärsystem 6 Darstellung negativer Zahlen 7 Weblinks

Definition

Darstellung von Binärzahlen

und nicht wie im Dezimalsystem durch:

Die Klammerung der Resultate mit der 10 soll darauf hinweisen dass die Resultate gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind. Eine ausführliche und Erläuterung findet sich im Artikel Stellenwertsystem .

Anwendung

Die Möglichkeit Zahlen in binärer Form wurde wohl zuerst von Leibniz dokumentiert. Leibniz selbst schrieb zu seiner

Um Alles aus Nichts zu erzeugen reicht
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum.

Leibniz war auch der Erste der Rechenmaschinen auf Basis des Binärsystems baute.

Das Binärsystem ist besonders wichtig in Digitaltechnik da die Ziffern der Binärzahlen leicht komplementäre Zustände wie Strom an / Strom aus oder Spannung / Masse symbolisiert werden können. Auf diese Weise sehr fehlerresistente Schaltungen möglich. Beispielsweise lässt sich einer Schaltung Masse als 0 und 5V Masse als 1 annehmen. Sinkt nun die im Schaltkreis auf 4.5V ab so kann dies noch zuverlässig als 1 gedeutet werden. Wären z.B. alle zehn Ziffern des Dezimalsystems als codiert so wäre dies bereits eine falsche

Grundrechenarten im Binärsystem

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Binärzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition Subtraktion Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen einfacher und lassen sich effizient mit logischen elektronisch realisieren. Die Einführung von Binärzahlen in Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.

Addition Beispiel 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 <math> \begin{matrix} \quad\;1011_{(2)}\\ +\quad\;11_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;1110_{(2)}	Substraktion Beispiel 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 <math> \begin{matrix} \quad\;1011_{(2)}\\ -\quad\;111_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;100_{(2)}
Multiplikation Beispiel 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 <math> \begin{matrix} \quad\;1010_{(2)}\\ {*}\quad\;11_{(2)}\\ \end{matrix} \over 11110_{(2)}	Division Beispiel 0 : 0 = n.def. 0 : 1 = 0 1 : 0 = n.def. 1 : 1 = 1 <math> \begin{matrix} 1010_{(2)}\\ {:}\quad\;10_{(2)}\\ \end{matrix} \over \quad\;101_{(2)}

Umrechnen von Binärzahlen in andere Stellenwertsysteme

Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil dass Zahlen im Binärsystem im zu Dezimalzahlen relativ lang sind (siehe Tabelle Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt welches die Basis 16 besitzt. 16 eine Potenz von 2 ist ist besonders einfach möglich Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. werden je vier Binärstellen durch eine Hexadezimalstelle was auch die Länge der dargestellten Zahlen den Faktor vier verringert. Andererseits ist die der Hexadezimalzahlen noch klein genug um diese bekannten Symbolen darzustellen. Dazu werden neben den 0-9 in der Regel noch die Großbuchstaben verwendet.

Binärsystem	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Oktalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Dezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Hexadezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Binärzahl eine Dezimalzahl erhalten zählt man die Zweierpotenzen zusammen bei in der Binärzahl die Ziffer 1 steht.

Beispiel: 1010 ₍₂₎

Man rechnet nun von rechts nach

0 · 2 ⁰ = 0
1 · 2 ¹ = 2
0 · 2 ² = 0
1 · 2 ³ = 8

Zusammengezählt ergibt dies 10 im Dezimalsystem.

vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung Binärsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am 41 ₍₁₀₎ beschrieben:

41 : 2 = 20 Rest
20 : 2 = 10 Rest
10 : 2 = 5 Rest
5 : 2 = 2 Rest
2 : 2 = 1 Rest
1 : 2 = 0 Rest

Der zu errechnende Wert ist nun von unten nach oben ablesbar: 101001 ₍₂₎

Darstellung negativer Zahlen

Wegen der Bedeutung des Dualsystems in Digitaltechnik ist es auch wichtig negative Zahlen darstellen zu können. Für die Darstellung negativer Zahlen im Dualsystem existieren die Verfahren des Vorzeichenbits und des Zweierkomplements .

Weblinks

• In Java geschriebener Umrechner vom Binär- ins

siehe auch: Zahlensystem Stellenwertsystem Oktalsystem Dezimalsystem Hexadezimalsystem

Bücher zum Thema Binärsystem

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