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Binomialverteilung


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Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen . Sie beschreibt Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen.

Ein Bernoulli-Prozess (auch: Bernoulli-Kette ) besteht aus einer Abfolge mehrerer unter Bedingungen durchgeführter Bernoulli-Versuche.

Ein Bernoulli-Versuch (auch: Bernoulli-Experiment ) ist ein Zufallsversuch mit genau zwei Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse wird durch Bernoulli-Verteilung beschrieben.

Die negative Binomialverteilung wird in einem eigenen Artikel behandelt.

Inhaltsverzeichnis

Bernoulli-Versuch und Bernoulli-Verteilung

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch mit genau zwei Ergebnissen die wir im folgenden als Erfolg und Misserfolg bezeichnen werden. Die Wahrscheinlichkeit für einen sei p ; dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen q = 1 - p .

Beispiele:

  • Fairer Wurf einer Münze mit p = q =0 5.
  • Beim Würfeln wird nur eine "6" als gewertet: p =1/6 q =5/6.

Die Bernoulli-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( X ) einer Zufallsvariable X die bei Erfolg den Wert 1 bei Misserfolg den Wert 0 annimmt. Die

<math> P(X) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox }X=1 \\
q & \mbox {wenn }X=0\end{matrix}\right.</math> kann durch folgenden geschlossenen Ausdruck ersetzen:
<math> P(X) = p^X q^{1-X}.</math>

Der Erwartungswert lautet < X >= p die Varianz < X 2 >-< X > 2 = pq .

Bernoulli-Prozess und Binomial-Verteilung

Ein Bernoulli-Prozess ist ein zeitlich diskreter stochastischer Prozess der aus einer endlichen oder abzählbar-unendlichen Bernoulli-Versuchen besteht. Er kann durch eine Folge Zufallsvariablen X 1 X 2 X 3 ... beschrieben werden deren jede mit konstanten Wahrscheinlichkeit p den Wert X =1 ( Erfolg ) und mit der Wahrscheinlichkeit q =1- p den Wert X =0 ( Misserfolg ) annimmt.

Je nach Fragestellung interessiert man sich eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen:

  • Die Anzahl K erfolgreicher Versuche nach Durchführung von insgesamt n Versuchen; sie folgt einer Binomialverteilung.
  • Die Anzahl n von Versuchen die benötigt werden um vorgegebene Anzahl von r Erfolgen zu erzielen; sie folgt der negativen Binomialverteilung .

Beispiele:

  • Ein betrunkener Fußgänger (oder ein diffundierendes Teilchen) bewegt sich bei jedem Schritt der Wahrscheinlichkeit p vorwärts mit der Wahrscheinlichkeit q rückwärts. Man interessiert sich für die vom Ausgangspunkt 2 K - n . Ein solches Modell wird in der als eindimensionaler Random Walk bezeichnet.

Eigenschaften:

  • Ein Bernoulli-Prozess ist ein spezieller Markow-Prozess : beim "Zeitschritt" von n nach n +1 geht das System mit der Wahrscheinlichkeit p aus dem "Zustand" k in den Zustand k +1 über; sonst bleibt es im Zustand k .

Die Zufallsvariable K die angibt wieviele von n Bernoulli-Versuchen erfolgreich waren folgt der Binomial-Verteilung . Wir leiten diese Verteilung anhand eines her:

Beim Würfeln mit einem Würfel werde die als Erfolg gewertet; die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also p =1/6 die komplementäre Misserfolgswahrscheinlichkeit q =5/6. Gefragt sei nun nach der Wahrscheinlichkeit n =5 Würfen genau k =2 Sechsen zu werfen.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit erst zwei Sechsen drei Nicht-Sechsen zu werfen ist p 2 q 3 . Da es auf die Reihenfolge aber ankommt ist diese Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren mit Anzahl der Möglichkeiten zwei (ununterscheidbare) Sechserwürfe auf Würfe zu verteilen. Der Kombinatorik zufolge ist diese Anzahl durch den Binomialkoeffizienten "5 über 2" gegeben; die gesuchte lautet also:
<math>B(2 |p 5) = \left( \begin{matrix} 5\\ \end{matrix} \right) p^2 q^{5-2} .</math>

Davon verallgemeinert lautet die Wahrscheinlichkeit in n Bernoulli-Versuchen genau k mal Erfolg zu haben

<math>B(k|p n) = \left( \begin{matrix} n\\ k \right) p^k q^{n-k}</math>
mit q =1- p . Diese Funktion heißt Binomial-Verteilung oder binomische Verteilung . Es gibt keine einheitliche Notation; neben B ( k | p n ) findet man viele andere Schreibweisen wie Beispiel P p ( k | n ) oder W p n ( k ).

Eigenschaften der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert np und die Varianz npq .

Die Binomialverteilung besitzt die Symmetrie B ( k | p n ) = B ( k | q n - k ).

Symmetrische Binomialverteilung (p gleich 1/2)

Dieses Bild zeigt die Binomialverteilung für p =0.5 und verschiedene Werte von n als Funktion von k :

Diese Funktion ist spiegelsymmetrisch um den k = n /2:

B ( k |0.5 n ) = B ( k |0.5 n - k )
wie die folgende Auftragung zeigt:

Die Breite der Verteilung wächst proportional Standardabweichung σ=(√ n )/2. Der Funktionswert bei k = n /2 also das Maximum der Kurve sinkt zu σ. Dementsprechend kann man Binomialverteilungen mit n aufeinander skalieren indem man die Abszisse k - n /2 durch σ teilt und die Ordinate mit σ multipliziert:

Das folgende Bild zeigt noch einmal Binomialverteilungen nun für andere Werte von n und in einer Auftragung die besser dass sämtliche Funktionswerte mit steigendem n gegen eine gemeinsame Kurve konvergieren . Indem man die Stirling-Formel auf die Binomialkoeffizienten anwendet findet man dass diese Kurve Bild schwarz durchgezogen) eine Gaußsche Glockenkurve ist:

<math> f(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} e}^{-x^2/2}</math>.
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zur Standard-Normalverteilung N (0 1). Im zentralen Grenzwertsatz wird dieser Befund dahingehend verallgemeinert dass Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung

Und hier die gleichen Daten in halblogarithmischen Auftragung die sehr zu empfehlen ist man überprüfen möchte ob auch seltene Ereignisse um mehrere Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen einer oder Normalverteilung folgen:

Allgemeiner Fall (p≠1/2)

Näherungen im Fall sehr vieler Bernoulli-Versuche

Im Grenzfall großer n konvergiert die Binomialverteilung gegen eine Normalverteilung :

<math>W_p^n(k)\approx{1\over\sqrt{2\pi npq}}\exp(-{{(k-np)}^2\over 2npq}).</math>
Eine Faustregel besagt dass diese Näherung ist sofern np >4 und nq >4. Je asymetrischer die Binomialverteilung umso größer n sein bevor die Normalverteilung eine brauchbare liefert.

Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung deren Erwartungswert np für große n gegen eine von n unabhängige Konstante λ konvergiert kann man die Poisson-Verteilung nähern:

<math>W_p^n(k)\approx {\lambda^k\over k!}\exp(-\lambda).</math>
Eine Faustregel besagt dass diese Näherung ist sofern np ≤10 und n >1500 p .

Weitere Beispiele:

In einem Behälter befinden sich 80 davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel ziehen bei allen Entnahmen gleich groß: 16/80 1/5 = 0.2. Die Verteilung B 5 0.2 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an daß 0 1 2 3 4 5 der Kugeln gelb sind.

Die Wahrscheinlichkeit daß eine Person in Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat beträgt In einem Raum halten sich 10 Personen ( Darunter sind keine Zwillinge ). Die B 10 2/7 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an daß 0 1 2 3 ... 10 der in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag

Zahlenwerte zu den Beispielen:

B 5 0.2
n Wahrscheinlichkeit (n) in %
0  32.768
1  40.96
2  20.48
3   5.12
4   0.64
5   0.032
100
Erw.Wert 1
Streuung 0.8

B 10 2/7
n Wahrscheinlichkeit (n) in %
0   3.457161303360777
1  13.828645213443108
2  24.89156138419759
3  26.55099880981076
4  18.585699166867535
5   8.921135600096417
6   2.973711866698805
7   0.6797055695311554
8   0.1019558354296733
9   0.009062740927082069
10   0.0003625096370832828
100
Erw.Wert 2.8571428571428568
Streuung 2.040816326530612




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