Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik der es in seiner einfachsten Form die Potenzen eines Binoms x+y also einen der Form

<math> (x+y)^{n} \quad n\in\mathbb{N}</math>

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Es gilt für alle reellen oder Zahlen x und y und für alle Zahlen n die Gleichung:

<math> (x+y)^n = f(x y) = \sum_{k=0}^{n}{n k} x^{k}y^{n-k} \quad (1)</math>

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie definiert:

<math> {n \choose k} = \frac {n!}{(n-k)!k!}

(n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n)

Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. ( Pascalsches Dreieck )

Für jedes einzelne n kann man Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Binomische Reihe Lehrsatz für komplexe Exponenten

Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber gültig wenn α eine beliebige komplexe Zahl

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

<math> (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha - k} \quad

Diese Reihe ist im Fall dass nicht positiv und ganzzahlig ist konvergent für <math> x y\in\mathbb{C} </math> mit <math> |x/y| 1 </math>.

Für <math> \alpha\in\mathbb{N} </math> geht Gleichung aber in (1) über und ist gültig alle <math> x y\in\mathbb{C} </math> und alle n\in\mathbb{N} </math>.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind als

<math> {\alpha \choose k} = \frac{\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - + 1)}{k!} </math>

(Im Fall k = 0 entsteht leeres Produkt dessen Wert als 1 definiert

Für α = -1 und y 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall Geometrische Reihe .

Weiterführende Literatur

M. Barner F. Flohr Analysis I . de Gruyter 2000 ISBN 3-11-016778-6 .

Bücher zum Thema Binomischer Lehrsatz

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