Spasski gewann 1955 die Jugendweltmeisterschaft und wurde im gleichen Großmeister . Seinen ersten Wettkampf um die Schachweltmeisterschaft verlor er 1966 gegen Tigran Petrosjan (3 Siege 4 Niederlagen 17 Unentschieden) dann aber 1969 gegen den gleichen Gegner den Titel Siege 4 Niederlagen 13 Unentschieden).
1972 verlor er den Titel in Reykjavik gegen Bobby Fischer (3 Siege 6 Niederlagen 11 Unentschieden) den er bis dahin eine positive Bilanz Danach fand er nicht mehr zu seiner Spielstärke zurück und scheiterte 1974 (gegen Anatoli Karpow ) und 1977 (gegen Viktor Kortschnoi ) bei seinen Versuchen sich erneut für Weltmeisterschaftskampf zu qualifizieren.
Seit 1975 lebt er in Frankreich und nahm auch die französische Staatsbürgerschaft
1992 spielte er einen Schaukampf gegen Bobby Fischer den er mit 12 5-17 5 Seitdem spielt er nur noch selten Turniere.
Spasski galt als einer der begabtesten überhaupt gelegentlich fehlte ihm allerdings der unbedingte sein Potential voll auszuschöpfen.