Gobert wurde als Sohn eines hanseatischen geboren und kam nach einigen Theaterengagements 1955 zum Film. Dandys Snobs und Bonvivants seine Stärke. Später führte er auch Regie avancierte 1969 zum Intendanten des Hamburger Thalia Theaters er bis 1980 leitete. Seine Devise lautete: "Ein Optimum Kunst und Kasse."
1980 wurde er Generalintendant der Staatlichen in Berlin und übernahm 1985 die Direktion Wiener Theaters in der Josefstadt . Seit 1960 war Gobert Mitglied des Burgtheaters und seit 1981 auch österreichischer Staatsbürger.
Kurz vor seinem Einstand als Schauspieler seiner neuen Wirkungsstätte starb Gobert an Herzversagen seinem Haus in Wien.