Cantor-Staub

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Unter einer Cantormenge auch Cantor-Staub oder Wischmenge genannt versteht man eine Menge die unendlich viele Elemente enthält gleichzeitig ein Maß von Null (im Sinne des Integrals) besitzt. Derartige Konstrukte sind in Mengen überabzählbar vielen Elementen kostruierbar.

Die Cantormenge dient oft als Gegenbeispiel für Mengentheoretische Aussagen die noch nicht aber vermutet wurden.

Dieser Mengentyp ist nach dem deutschen Mathematiker Georg Cantor benannt.

Cantormengen sind Beispiele von Fraktalen .

Konstruktionsbeispiel

Die ersten fünf Iterationsschritte
zur Konstruktion einer Cantormenge

Man kann ein Beispiel einer Cantormenge einer Iteration konstruieren.

Man beginnt mit dem Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem wird das mittlere Drittel entfernt ( weggewischt ).

Im Folgenden wird aus allen vorhandenen jeweils das mittlere Drittel entfernt. Dieser Schritt unendlich oft wiederholt.

Nach n Iterationen existieren 2 ⁿ Intervalle die insgesamt (2/3) ⁿ des ursprünglischen Intervalls abdecken. Je mehr diese Menge enthält desto geringer ist der am ursprünglichen Intervall.

Im Grenzwert eines unendlichen n ist der Anteil am ursprünglichen Intervall obwohl unendlich viele Intervalle (und somit Elemente)

Die Haussdorff-Dimension dieses Beispiels beträgt D log(2) / log(3) = 0 6309.....

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