Cauchyfolge

In der Mathematik ist eine Folge eine durch natürliche Zahlen indizierbare Teilmenge einer Menge (siehe Mengenlehre ). Man schreibt eine Folge als <math>(x_i)</math>.

Eine Cauchyfolge ist eine spezielle Folge. kann nur definiert werden wenn auf der <math>X</math> eine Metrik <math>d</math> vorhanden ist. Ein solches Paar d)</math> wird als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen (mit einer beliebigen Norm versehen) ist Beispiel ein metrischer Raum

Eine Folge <math>(x_i)</math> in <math>X</math> heißt wenn es zu jedem reellen <math>\epsilon > 0</math> ein <math>N</math> aus natürlichen Zahlen gibt sodass für alle <math> m > N</math> folgendes Konvergenzkriterium gilt:

<math>d(x_m x_n) < \epsilon</math>.

Ein vollständiger Raum ist dadurch definiert dass jede Cauchyfolge ihm konvergiert . Das heißt sie besitzt einen Grenzwert der Element des Raumes ist.

Cauchyfolgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

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