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Cauchyscher Integralsatz


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Der Cauchysche Integralsatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie . Er handelt von Wegintegralen für holomorphe Funktionen (hier: auf der komplexen Zahlenebene). Kern besagt er dass zwei die selben verbindenden Wege das gleiche Wegintegral besitzen falls die überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist.

Sei eine Funktion f(z) holomorph in einer offenen Kreisscheibe (Teilmenge der Zahlen) dann gilt für jede geschlossene Kurve in dieser Kreisscheibe

<math> \int_{\gamma}^{ } f(z) \ \mathrm{d}z 0. </math>

Für die Gültigkeit der Formel ist dass f überall auf der Kreisscheibe holomorph d.h. dass die Funktion zum Beispiel keine Polstellen aufweist. Ist dies nicht der Fall benötigt man zur Berechnung des obigen Integrales Cauchysche Integralformel (eine Polstelle) oder allgemein den Residuensatz .

Die Cauchysche Integralformel ist eines der zentralen Ergebnisse der Funktionentheorie . Sie besagt dass die Werte einer holomorphen Funktion f bereits durch ihre Werte auf einer Kurve <math> \gamma </math> bestimmt sind. (In älteren Literatur - z.B. Lehrbücher um 1970 herum - findet man den Begriff analytisch anstatt holomorph. Dies erklärt sich dadurch holomorphe Funktionen sich lokal in eine komplexe entwickeln lassen.)

Für ihren Beweis (und das Verständnis) die Definition der Windungszahl <math> n( \gamma a) benötigt:

<math> n( \gamma a) = \frac{1}{2\pi \int_{\gamma}^{ } \frac{\mathrm{d}z}{z - a} .</math>

Man beschränkt sich dabei auf eine Kreisscheibe in der eine geschlossene stetig differenzierbare <math> \gamma </math> gegeben ist dabei sei a ein Punkt nicht auf <math> \gamma Die Voraussetzungen an die Kurve implizieren die des Integrals .

Sei f(z) holomorph in einer offenen dann gilt für jede geschlossene Kurve <math> </math> in dieser Kreisscheibe (die stückweise differenzierbar und für jeden Punkt a der nicht auf dieser Kurve liegt Cauchysche Integralformel:

<math> n(\gamma a) \cdot f(a) = \pi i} \int_{\gamma}^{ } \frac{f(z)}{z - a} \mathrm{d}z .</math>

Zum Beweis wird der Cauchysche Integralsatz verwendet.

Die Cauchysche Integralformel beweist man durch des Integralsatzes auf die Funktion

<math> F(z) := \frac{f(z) - f(a)}{z a} </math>

und man verwendet folgenden Hilfssatz ( Lemma ):

Die punktweise differenzierbare geschlossene Kurve <math> </math> enthalte nicht den Punkt a dann ist der Wert des Integrals

<math> \int_{\gamma}^{ } \frac{\mathrm{d}z}{z - a}

ein ganzzahliges Vielfaches von <math> 2 i </math>.



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