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Darstellungstheorie


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Die Darstellungstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik das auf der Gruppentheorie aufbaut.

Die Grundidee ist die Elemente einer durch Transformationen bestimmter mathematischer Gegenstände darzustellen.

Eine Darstellung ρ einer Gruppe G ist somit ein Homomorphismus von G in die Automorphismengruppe Aut( W ) einer gegebenen Menge W . Die Gruppenverknüpfung in G entspricht dem Hintereinanderausführen von Automorphismen in W : ρ( gh )=ρ( g ) ρ( h ).

Eine lineare Darstellung ist eine Darstellung durch Automorphismen eines Vektorraums V . Eine lineare Darstellung ist somit ein von G in die allgemeine lineare Gruppe GL( V ). Wenn V ein n -dimensionaler Vektorraum über einem Körper K ist dann besteht die Darstellung dementsprechend invertierbaren n × n -Matrizen mit Koeffizienten aus K . Die Vektorraumdimension n heißt Grad der Darstellung.

Oft wird der Begriff Darstellung im engeren Sinn von lineare Darstellung verwandt; eine Darstellung durch beliebige Automorphismen dann Realisierung .

Inhaltsverzeichnis

Glossar

Eine Darstellung heißt treu wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist wenn also verschiedene Gruppenelemente stets verschiedene Transformationen dargestellt werden.

Zwei Darstellungen ρ 1 ρ 2 heißen äquivalent wenn sich ihre Matrizen nur durch Basen unterscheiden wenn es also eine invertierbare S gibt so dass für alle Gruppenelemente g gilt: ρ 1 ( g ) = S  ρ 2 ( g S -1 .

Eine lineare Darstellung heißt reduzibel wenn der Vektorraum V nichttriviale Unterräume hat die unter allen Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden. Eine Hauptaufgabe der Darstellungstheorie ist Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen.

Anwendungen

Lineare Darstellungen ermöglichen es Eigenschaften einer mit den Mitteln der linearen Algebra zu das ist nützlich weil die lineare Algebra im Gegensatz zur Gruppentheorie ein kleines und bestens verstandenes Gebiet ist.

Darstellungen endlicher Gruppen ermöglichen es in Molekülphysik und Kristallographie die Auswirkungen vorhandener Symmetrien auf messbare eines Materials mit Hilfe eines rezeptmäßigen Kalküls bestimmen.

Beispiel

Sei G die zyklische Gruppe C 3 also die Zahlen {0 1 2} der Addition modulo 3 als Gruppenverknüpfung.

Die Abbildung τ: G C die den Gruppenelementen g Potenzen τ( g ) = u g der komplexen Zahl u = exp(2π i /3) zuordnet ist eine treue lineare Darstellung Grad 1. Der Gruppeneigenschaft g 3 = e entspricht die Eigenschaft u 3 = 1. Die durch die Darstellung multiplikative Gruppe τ( C 3 ) = {1 u u 2 } ist isomorph zur dargestellten Gruppe C 3 .

Eine solche Isomorphie liegt nicht vor der treuen linearen Darstellung vom Grad 2 gegeben ist als

<math>
\rho(0)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \rho(1)=\begin{bmatrix} 1 & \\ 0 & u \\ \end{bmatrix} \qquad 1 & 0 \\ 0 & u^2 \end{bmatrix}. </math> Diese Darstellung ist äquivalent zu einer Darstellung durch die folgenden
<math>
\rho'(0)= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \rho'(1)= \begin{bmatrix} & 0 \\ 0 & 1 \\ \qquad \rho'(2)= \begin{bmatrix} u^2 & 0 \\ & 1 \\ \end{bmatrix}. </math>

Die Darstellungen ρ und ρ´ sind reduzibel : sie bestehen aus der direkten Summe zuvor beschriebenen Darstellung g u g und der untreuen Darstellung g →1.

Taxonomie

Darstellungen können nach zwei Gesichtspunkten klassifiziert (1) nach der Struktur der Zielmenge W auf die die Darstellungen wirken; und nach der Struktur der dargestellten Gruppe.

Einteilung nach Zielmengen

Eine mengentheoretische Darstellung ist ein Homomorphismus der darzustellenden Gruppe die Permutationsgruppe Sym( M ) einer beliebigen Menge M .

Eine lineare Darstellung ist durch ihre Dimension n und durch den Körper K charakterisiert. Neben den komplexen und reellen kommen hier die endlichen und p-adischen Körper in Betracht.

Eine modulare Darstellung ist eine Darstellung über einem endlichen wichtige Ergebnisse hängen von der Charakteristik des Körpers ab.

Darstellungen in Untergruppen der allgemeinen linearen GL( V ) zeichnen sich dadurch aus dass sie Strukturen des Vektorraums V erhalten. Zum Beispiel erhält eine unitäre Darstellung also eine Darstellung in die unitäre U( V ) das Hermitesche innere Produkt.

Einteilung nach dargestellter Gruppe

Einfachster Fall ist die Darstellung einer endlichen Gruppe .

Viele Ergebnisse in der Darstellungstheorie endlicher werden durch Mittelung über die Gruppe erzielt. Ergebnisse können auf unendliche Gruppen übertragen werden die topologischen Voraussetzungen gegeben sind um ein Integral zu definieren. Dies ist vermittels des Haar-Maßes in lokal kompakten Gruppen möglich. Die daraus resultierende Theorie spielt zentrale Rolle in der harmonischen Analysis. Die beschreibt diese Theorie im Spezialfall abelscher Gruppen verallgemeinerte Fourier-Transformation .

Viele wichtige Lie-Gruppen sind kompakt so dass die genannten Ergebnisse übertragbar die Darstellungstheorie ist von entscheidender Bedeutung für Anwendungen dieser Lie-Gruppen in Physik und Chemie.

Für nicht-kompakte Gruppen gibt es keine Darstellungstheorie. Eine umfassende Theorie ist für halb-einfache Lie-Gruppen ausgearbeitet worden. Für die komplementären lösbaren Lie-Gruppen gibt es keine vergleichbare Klassifikation.



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