De Morgansche Gesetze

Sie lauten in der Logik :

nicht (a und b) = (nicht a) oder (nicht b)

nicht (a oder b) = (nicht a) (nicht b)

Ihre Entsprechung in der Mengenlehre lautet (dabei ist A ^C das Komplement von A ):

<math>(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement</math>

<math>(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement</math>

In der Mathematik findet man zahlreiche Darstellungen der De Morganschen Gesetze. Eine mathematische in der Aussagenlogik ist:

<math>\begin{matrix}

Die Gültigkeit der De Morganschen Gesetze kann mithilfe von Wahrheitstabellen bewiesen werden.

Folgerungen

Eine Konjunktion (UND-Verknüpfung) lässt sich mithilfe des De Gesetzes durch drei Negationen und eine Disjunktion (NICHT- und ODER-Verknüpfungen) darstellen:

<math>a \wedge b = \neg(\neg{a} \vee \neg{b})</math>

Das gleiche gilt für die Disjunktion (ODER-Verknüpfung):

<math> a \vee b = \neg(\neg{a} \wedge

Anwendung

Die De Morganschen Gesetze haben wichtige Anwendungen in der diskreten Mathematik und in der Elektrotechnik . Die De Morganschen Gesetze werden häufig der Entwicklung digitaler Schaltkreise genutzt um die Typen verwendeter logischer Schaltelemente gegeneinander auszutauschen.

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