Divergenz (Mathematik)

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Die Divergenz bezeichnet in der Mathematik zwei verschiedene

Eine Eigenschaft von Folgen nämlich das Gegenteil von Konvergenz (sieht dort)
Eine Funktion der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis (dieser Artikel)

Die Divergenz ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis eine Funktion eines Vektorfeldes . Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld gibt die Divergenz für jede Stelle seine an zu diesem Punkt hin- bzw. wegzufließen. sagt damit aus ob und wo das Quellen oder Senken hat.

Betrachte zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche die ein dünner Strahl Öl trifft. Die des Öls auf der Oberfläche kann durch zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden d.h. zu Zeitpunkt ist die Fließgeschwindigkeit (und -richtung) des in jedem Punkt angegeben. Die Stelle an der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft ist "Ölquelle" da von dort Öl wegfließt ohne Die Divergenz in der Nähe dieser Stelle positiv.

Der Divergenzsatz besagt nun dass der Durchfluss z.B. einen Kreis um die "Quelle" gleich dem über die Divergenz des Vektorfeldes in diesem ist.

Formale Definition

Die Divergenz eines Vektorfeldes <math>\vec F(\vec ist ein skalares Feld. Es wird als F</math> oder als <math>\operatorname{div}\vec F</math> geschrieben. Dabei <math>\nabla</math> den Nabla-Operator und div das Funktionssymbol der Divergenz. den Fall eines dreidimensionales Vektorfeld <math>\vec F(x z)</math> ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

<math>\operatorname{div}\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}

+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial \nabla\vec F </math>

Die Divergenz lässt sich formal als zwischen <math>\nabla</math> und <math>\vec F</math> interpretieren d. als die Summe der komponentenweisen "Produkte".

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld F = (F ₁ ... F _n) das jedem Punkt eines n-dimensionalen Raumes n-Vektor zuordnet

<math>

\operatorname{div}\vec F = \nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_{i}}{\partial x_i} </math>

Rechenregeln

<math>\forall</math> c : Konstante und für <math>\vec{F}</math> und <math>\vec{G}</math>:

<math>\operatorname{div}\ c\cdot\vec{F} =c\cdot\operatorname{div}\ \vec{F}</math>
<math>\operatorname{div}\ (\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{div}\ \vec{F}+\operatorname{div}\ \vec{G}</math>
<math>\operatorname{div}\ (u\cdot\vec{F}) =u\cdot\operatorname{div}\ \vec{F}+\vec{F}\cdot\operatorname{grad}\ u</math>

Siehe auch: Rotation (Mathematik) Gradient (Mathematik) .

Bücher zum Thema Divergenz (Mathematik)

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