Divisionsalgebra

Definition und Beispiele

Eine Divisionsalgebra <math>D</math> ist eine Algebra (Vektorraum) in der zu jedem <math>a\in D</math> zu jedem <math>b\in D b\neq 0</math> genau <math>x\in D</math> mit der Eigenschaft <math>a=x\cdot b</math> (Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Man fordert noch zur Vermeidung einer Trivialität <math>D</math> mindestens zwei Elemente enthält.

Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1 2 4 oder 8. Das 1958 von Milnor und Kervaire bewiesen. Die Divisionsalgebren sind (bis auf Isomorphie )

• die reellen Zahlen selbst
• die komplexen Zahlen
• die Quaternionen
• die Oktaven oder Cayley-Zahlen.

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