Dreiecksfläche

Das Problem der Berechnung einer Dreiecksfläche ist eines der ältesten Probleme der Bereits im antiken Ägypten stellte sich das wenn nach dem Rückgang der Nilüberschwemmung das Ackerland neu zu verteilen war. Dreiecke und Flächenberechnung bilden auch heute noch eine der Grundlagen der Landvermessung ( siehe : Triangulierung ).

Dreiecksflächenberechnung in der Ebene

Das Prinzip der Flächenberechnung bei rechtwinkligen ist einfach. Bei Betrachtung des äußersten zweiten des dritten Dreiecks in nachfolgender Abbildung lässt erkennen dass sie sich zu einem Rechteck ergänzen würden. Da sie offensichtlich die Fläche haben muss jedes von ihnen die Rechtecksfläche enthalten.

Betrachtet man nun alle dargestellten Dreiecke Ausnahme des zweiten so kann man in beliebigen Höhe einen waagerechten Schnitt hindurchlegen. Diese sind alle gleich lang (nach den Strahlensätzen). folgt dass für die Flächenberechnung die Form Dreiecke keine Rolle spielt; es kommt lediglich die Grundseite und die Höhe an. So sich die Formel:

<math> A_D = A_R / 2 g \cdot h / 2 </math>

Dreiecksflächenberechnung sphärischer Dreiecke

Streng genommen ist kein Dreieck auf Erdoberfläche eben da die Erde bekanntlich annähernd hat ( Geoid ). Bei sehr großen Dreiecken (etwa Kapstadt - Rio de Janeiro - Tokyo ) wird man daher auf Methoden der Geometrie und der Differentialrechnung zurückgreifen müssen:

Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu gleichen Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck durch Punkte. Dies wird umso genauer je kleiner Dreiecke werden. Daraus folgt das Prinzip der eines sphärischen Dreiecks: man halbiere wiederholt die Geodäten die die Begrenzung des Dreiecks bilden berechne die sich aus den kleineren Dreiecken Flächensummen. Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die des sphärischen Dreiecks.

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