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Dreieckstrigonometrie


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ebenes Dreieck

Unter Dreieckstrigonometrie versteht man in der Geometrie die Lehre von den Beziehungen zwischen den Größen eines ebenen Dreiecks . Diese Größen sind unter anderem Seitenlängen Radien von Umkreis und Inkreis.

In der sphärischen (räumlichen) Geometrie gelten Beziehungen.

Die folgende Liste enthält die meisten Formeln aus der Dreieckstrigonometrie der Ebene. Die dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen .

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Dreieck ABC habe die Seiten a = BC b = CA und c = AB die Winkel α β und γ den Ecken A B und C . Ferner seien r der Umkreisradius ρ der Inkreisradius und ρ a ρ b und ρ c die Ankreisradien (und zwar die Radien Ankreise die den Ecken A B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC . Die Variable s steht für den halben Umfang des ABC : <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>. Schließlich wird die Fläche des ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils den entsprechenden Abschnitten in denen sie vorkommen

Inhaltsverzeichnis

Winkelsumme

α + β + γ =

Sinussatz

<math>\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma };\;\;\;\;\frac{c}{a}=\frac{\sin
\gamma }{\sin \alpha };\;\;\;\;\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin }</math>
<math>a:\sin \alpha =b:\sin \beta =c:\sin \gamma</math>
<math>a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma</math>

Kosinussatz

<math>a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha</math>
<math>b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta</math>
<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma</math>
<math>\cos \alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}</math>
<math>\cos \beta = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}</math>
<math>\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}</math>
<math>a^{2}+bc\cos \alpha =b^{2}+ca\cos \beta =c^{2}+ab\cos \gamma

Projektionssatz

<math>a=b\cos \gamma +c\cos \beta</math>
<math>b=c\cos \alpha +a\cos \gamma</math>
<math>c=a\cos \beta +b\cos \alpha</math>

Die Mollweideschen Formeln

<math>\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}};\;\;\;\;\frac{b-c}{a}=\frac{\sin -\gamma }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}</math>
Analoge Formeln gelten für ( c + a )/ b ( c - a )/ b ( a + b )/ c und ( a - b )/ c .

Tangenssatz

<math>\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha
-\beta }{2}}=\frac{\cot \frac{\gamma }{2}}{\tan \frac{\alpha -\beta
Analoge Formeln gelten für ( c + a )/( c - a ) und ( a + b )/( a - b ).

Trigonometrische Beziehungen zwischen den Winkeln

Die folgenden Formeln folgen nach mehr weniger langen Termumformungen aus α + β γ = 180° gelten also allgemein für beliebige Winkel α β und γ mit + β + γ = 180° solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert (letzteres betrifft nur die Formeln in denen und Kotangense vorkommen).

<math>\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \alpha \tan \beta \tan \gamma</math>
<math>\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \alpha +\cot \alpha \cot \beta =1</math>
<math>\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}</math>
<math>\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1</math>
<math>\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}</math>
<math>-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}</math>
<math>\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1</math>
<math>-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1</math>
<math>\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \sin \sin \gamma</math>
<math>-\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \cos \cos \gamma</math>
<math>\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \cos \cos \gamma -1</math>
<math>-\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \sin \sin \gamma +1</math>
<math>\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma \alpha \cos \beta \cos \gamma +2</math>
<math>-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma \alpha \sin \beta \sin \gamma</math>
<math>\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma \alpha \cos \beta \cos \gamma +1</math>
<math>-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma \alpha \sin \beta \sin \gamma +1</math>
<math>-\sin ^{2}\left( 2\alpha \right) +\sin ^{2}\left( \right) +\sin ^{2}\left( 2\gamma \right) =-2\cos \left( \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( \right)</math>
<math>-\cos ^{2}\left( 2\alpha \right) +\cos ^{2}\left( \right) +\cos ^{2}\left( 2\gamma \right) =2\cos \left( \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( \right) +1</math>

Formeln mit dem halben Umfang

Im folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des ABC also <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.

<math>s-a=\frac{b+c-a}{2};\;\;\;\;s-b=\frac{c+a-b}{2};\;\;\;\;s-c=\frac{a+b-c}{2}</math>
<math>\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a</math>
<math>\left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b</math>
<math>\left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c</math>
<math>\left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right)
<math>\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left(s-a\right) }{ca}};\;\;\;\;\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-a\right) s-b\right) }{ab}}</math>
<math>\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}};\;\;\;\;\cos \frac{\beta s-b\right) }{ca}};\;\;\;\;\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}</math>
<math>\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) s-a\right) }};\;\;\;\;\tan \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-c\right) \left( s-a\right) }{s\left( }};\;\;\;\;\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left(s-c\right)
<math>s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma
<math>s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma
Analoge Formeln gelten für s-b und s-c .

Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht wie heute üblich mit A um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r .

[Es ist zu beachten daß die benutzten Bezeichnungen r ρ ρ a ρ b ρ c für den Umkreisradius den Inkreisradius und drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen bei der dieselben Größen R r r a r b r c genannt werden.]

Heronsche Formel: <math>F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }</math>
<math>F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }</math>
<math>F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma</math>
<math>F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}</math> wobei h a h b und h c die Längen der von A B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
<math>F=2r^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma</math>
<math>F=\frac{abc}{4r}</math>
<math>F=\rho s=\rho _{a}\left( s-a\right) =\rho _{b}\left( =\rho_{c}\left( s-c\right)</math>
<math>F=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}</math>
Erweiterter Sinussatz: <math>\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma
<math>a=2r\sin \alpha</math>
<math>b=2r\sin \beta</math>
<math>c=2r\sin \gamma</math>
<math>r=\frac{abc}{4F}</math>

In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρ a ρ b und ρ c des Dreiecks ABC vorkommen.

<math>\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}</math>
<math>\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}</math>
<math>\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta \gamma -1\right)</math>
<math>\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}</math>
<math>\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}</math>
<math>\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot
\frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot }{2}}</math>
Wichtige Ungleichung: <math>2\rho \leq r</math>; Gleichheit nur dann ein wenn Dreieck ABC gleichseitig ist.
<math>\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\beta }{2}</math>
<math>\rho _{a}=4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot }{2}</math>
<math>\rho _{a}=r\left( -\cos \alpha +\cos \beta \gamma +1\right)</math>
<math>\rho _{a}=\frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }</math>
<math>\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}</math>
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel ρ a gilt in analoger Form für ρ b und ρ c .
<math>\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}</math>

Höhen

Die Längen der von A B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit h a h b und h c bezeichnet.

<math>h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \gamma</math>
<math>h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \alpha</math>
<math>h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \beta</math>
<math>h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }</math>
<math>F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}</math>
<math>\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}</math>

Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°) dann

<math>h_{c} = \frac{a b}{c}</math>
<math>h_{a} = b</math>
<math>h_{b} = a</math>

Seitenhalbierende

Die Längen der von A B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden s a s b und s c genannt.

<math>s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }</math>
<math>s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }</math>
<math>s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }</math>
<math>s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)</math>

Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit w α w β und w γ die Längen der von A B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC .

<math>w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2F}{a\cos \frac{\beta -\gamma
<math>w_{\beta }=\frac{2ca\cos \frac{\beta }{2}}{c+a}=\frac{2F}{b\cos \frac{\gamma -\alpha
<math>w_{\gamma }=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{2F}{c\cos \frac{\alpha -\beta



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