Dualraum

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Der Dualraum <math> V^* </math> eines Vektorraumes V über einem Körper K ist definiert als die Menge aller stetigen linearen Funktionen von V nach K . Die Elemente von <math> V^* </math> auch als Linearformen oder Funktionale bezeichnet.

Besonders einfach ist der Dualraum falls V ein Hilbertraum ist. Nach einem Satz den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander sind ein Hilbertraum und sein Dualraum isometrisch isomorph zueinander das heisst jedes Funktional f aus dem Dualraum kann als

mit einem w aus V geschrieben werden. Die Vertauschbarkeit von Raum Dualraum kommt besonders deutlich in der Bra-Ket -Schreibweise von Dirac zum Ausdruck.

Da jeder endlich- dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isometrisch isomorph zu einem Hilbertraum sind endlich- dimensionale Räume stets selbstdual.

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