Dynamisches System

Man unterscheidet zwischen diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen. Bei einem diskreten System die betrachteten Größen Funktionen einer ganzzahligen Variablen n genannt) bei kontinuierlichen Systemen sind sie einer reellen Variablen (meist t genannt).

Wichtigstes Beispiel für kontinuierliche dynamische Systeme die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen . Diskrete dynamische Systeme erhält man z.B. man die Lösungen einer Differentialgleichung nur in Zeitabständen auswertet. Ein weiteres wichtiges Beispiel sind Rekursionen der Form <math>x_{n+1} = F(x_{n})</math> wobei Anfangswert <math>x_0</math> vorgegeben ist.

Formal ist ein kontinuierliches dynamisches System <math> \mathcal{C}^1 </math> Abbildung <math> \Phi : \times \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{U} </math> wobei <math> </math> eine offene Teilmenge des <math> \mathbb{R}^n oder einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist mit den Eigenschaften

<math> (a) \Phi(0 x) = x </math> alle x und

<math> (b) \Phi(t \Phi(s x)) = \Phi(s+t </math> für alle s t und x.

Diese Definition gilt analog auch für dynamische Systeme wenn man <math> \mathbb{R} </math> <math> \mathbb{Z} </math> und die Variable t durch n ersetzt.

(a) bedeutet dass "sich die Lösung 0 Zeiteinheiten im Ausgangszustand befindet". (b) bedeutet man zunächst in s Zeiteinheiten von a <math> \Phi(s x) </math> gelangt und anschließend t Zeiteinheiten von <math> \Phi(s x) </math> <math> \Phi(s+t x) </math>.

In der Theorie dynamischer Systeme interessiert sich besonders bei gegebenem x für das von Lösungen <math> t \rightarrow \Phi(t x) für <math> t \rightarrow \pm \infty </math> für <math> n \rightarrow \pm \infty </math>)

Die wichtigsten Grenzmengen sind Fixpunkte und periodische Orbits . Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

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