Eichtheorie

Was das genau bedeutet sei im am Beispiel der Elektrodynamik erläutert.

Bekanntlich lässt sich die Energie eines in einem äußeren Potential schreiben als

<math>E = \frac{1}{2}m\vec v^2 + V(\vec x)</math>

Definiert man nun den Impuls als

<math>\vec p = m \vec v</math>

<math>E = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec x)</math>

Wenn man nach der Hamiltonschen Mechanik die Energie als Funktion von Ort Impuls beschreibt also

<math>E = H(\vec x \vec p)</math>

<math>\dot x_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math>

<math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial x_i}</math>

Für die oben genannte Energie ergibt

<math>\dot x_i = \frac{p_i}{m} = v_i</math>

<math>\dot p_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} =

Wenn man zum Potential und zum jeweils noch einen konstanten Term hinzufügt also

<math>V_1(\vec x) = V(\vec x) + V_0</math>

<math>\vec p_1 = m\vec v + \vec

<math>E = \frac{(\vec p_1 - \vec p_0)^2}{2m} (V_1(\vec x) - V_0)</math>

<math>\dot x_i = \frac{\partial H}{\partial (p_1)_i}

 = \frac{(p_1)_i - (p_0)_i}{m} = v_i</math> 

<math>(\dot p_1)_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} =

<math>\dot\vec p = \dot\vec p_1</math>

Es ist also möglich sowohl für Energie als auch für den Impuls einen Offset festzulegen ohne die dadurch beschriebene Physik verändern. Diese Tatsache nennt man globale Eichsymmetrie .

Nun stellt sich die Frage ob stattdessen auch nicht-konstante Größen aufaddieren kann ohne Bewegungsgleichungen zu verändern also allgemein

<math>V_1(x) = V(x) + q\phi(x t)</math>

<math>\vec p_1(x) = m\vec v + q\vec t)</math>

Es ist unmittelbar klar dass es möglich ist beliebige Funktionen für <math>\phi</math> und A</math> zu verwenden da z.B. ein beliebiges wie ein zusätzliches Potential wirkt. Nimmt man beide Größen beliebige Funktionen an so zeigt dass die Bewegungsgleichungen gegeben sind durch

<math>\dot\vec x = \vec v</math>

<math>\dot\vec p = q\vec v\times\operatorname{rot}\vec A - A}{\partial t} - q\operatorname{grad}\phi -\operatorname{grad}V(\vec{x})</math>

Dies sind aber gerade die Bewegungsgleichungen man erwarten würde wenn das Teilchen die q hat und sich außer im Potential noch im elektrischen Feld

<math>\vec E = - \frac{\partial\vec A}{\partial t} \operatorname{grad}\phi</math>

<math>\vec B = \operatorname{rot}\vec A</math>

Die Bewegung wird nun nicht geändert die Änderung von <math>\phi</math> und <math>\vec A</math> die Felder <math>\vec E</math> und <math>\vec B</math> (also insbesondere die Felder auf Null lässt sie vorher Null waren). Da die Rotation Gradientenfeldes stets Null ist ist klar dass die Addition des Gradienten einer beliebigen orts- zeitabhängigen skalaren Funktion zum Vektorpotential <math>\vec A</math> am magnetischen Feld geändert wird. Allerdings ändert das elektrische Feld um die Zeitableitung eben Gradienten; diese Änderung kann jedoch kompensiert werden das skalare Potential <math>\phi</math> um die Zeitableitung Funktion verringert wird.

Die Tatsache dass man solche speziellen und zeitabhängigen Funktionen hinzufügen kann ohne die (also die beschriebene Bewegung) zu ändern nennt lokale Eichsymmetrie .

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